专题12 不等式的证明技巧的求解策略解题模板-高中数学解题模板

不等式的证明技巧的解题模板 【考点综述】 证明数列不等式，因其思维跨度大､构造性强，需要有较高的证明技巧.这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地选择不等式的证明技巧.其主要方法有比较法､化边法､面积法等，在解题中注意体会蕴含的函数与方程思想､等价转化思想及分类讨论思想.在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题. 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板一：比较法 使用情景：一般不等式证明 解题模板：第一步，通过两个实数与的差或商的符号(范围)确定与大小关系； 第二步，得出结论. 解题模板应用： 例1设实数满足，求证：. 【答案】见解析 【解析】 解题模板选择： 本题中比较两数大小，故选取解题方法模板一比较法进行解答. 解题模板应用： 第一步通过两个实数与的差或商的符号(范围)确定与大小关系； 第二步得出结论： 练习 1. 已知，. （1）求证：； （2）若，求ab的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1. 【解析】 【分析】（1）对不等式两边式子作差，分解因式，判断作差的结果的符号，可得证. （2）根据，可得，从而得到，进而求得，注意等号成立的条件，得到结果. 【详解】证明：（1）∵， ∴. （2）∵，， ∴，即， ∴，∴. 当且仅当时取等号，此时ab取最小值1. 【点睛】该题主要是考查不等式的证明和运用基本不等式求最值，在证明不等式时，可以运用综合法也可以运用分析法，一般的比较大小的最重要的方法就是作差法，然后结合综合法和分析法来一起证明，属于中档题. 2. 已知，比较与的大小． 【答案】 【解析】 【分析】先怍差变形，再分别平方后再比较． 【详解】因为， ． 所以． 所以， 即． 【点睛】本题主要考查代数式比较大小，还考查了转化论证问题的能力，属于基础题. 3. 若，，求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】利用作差法，结合条件，即可得出结论． 【详解】证明：， ，， ， ． 【点睛】本题考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题． 4. 已知,用比较法证明:. 【答案】见解析 【解析】 【分析】由,可得,,,运用作差法,结合因式分解,可得左边右边,即可得证. 【详解】证明:由,可得,,, 又 , 所以. 【点睛】本题考查不等式的证明,注意运用作差比较法,考查因式分解能力和推理能力,属于基础题. 解题方法模板二：分析法 使用情景：要证的结论较复杂 解题模板：第一步，从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件； 第二步，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题； 第三步，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 解题模板应用： 例2设证明： 【答案】见解析 【解析】 解题模板选择： 本题中要证的结论较复杂，故选取解题方法模板二分析法进行解答. 解题模板应用： 第一步，从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件； 只要证 第二步，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题； 因为 所以只要证 第三步，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 因为所以 练习 5. 若实数､､满足，则称比远离.设，其中，求证：比更远离； 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 利用新定义和不等式的性质即可证明． 【详解】即证，即证， ，，即证，即证(*) 　， ，(*)成立，即证比更远离. 【点睛】本题考查利用分析法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题． 6. 已知，用分析法证明：. 【答案】证明见解析； 【解析】 【分析】将两边同时平方，整理变形即可证明. 【详解】因为，， 要证， 只需证，即 只需证， 而恒成立， 故成立. 【点睛】本题考查分析法证明不等式，是基础题. 7. 求证:. 【答案】证明见解析. 【解析】 【分析】 利用分析法证明即可. 【详解】要证，只要证，即证， 要证，即证，即需要证， 显然成立，所以原不等式得证. 【点睛】本题考查了利用分析法证明不等式，属于基础题. 8. 已知实数，满足，，证明：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由已知条件，，可得，，然后得到，展开进行整理即可． 【详解】方法1：因为，，所以，，所以，， 所以，即，所以， 所以，即， 所以． 方法2：要证，只需证， 只需证，只需证， 即证． 因为，，所以，，所以成立，故． 【点睛】本题主要考查了综合法与分析法的证明，其中实际解题时，通常用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”（分析），从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径． 9. 设，，，求证：. 【答案】证