专题11 应用基本不等式求最值的求解策略解题模板-高中数学解题模板

应用基本不等式求最值的解题模板 【考点综述】 基本不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点.应用基本不等式求最值时，要把握基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”， 主要方法有配凑法、分离法、单调性法等，在解题中注意体会蕴含的函数与方程思想、等价转化思想及分类讨论思想.在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板一：配凑法 使用情景：某一类函数的最值问题 解题模板：第一步 根据观察已知函数的表达式，通常不符合基本不等式成立的三个条件“一正二定三相等”，将其配凑（凑项、凑系数等）成符合其条件； 第二步 使用基本不等式对其进行求解即可； 第三步 得出结论. 解题模板应用： 例1 已知，求函数的最大值. 【答案】1 【解析】 解题模板选择： 本题中可配凑基本不等式成立的三个条件，故选取解题方法模板一配凑法进行解答. 解题模板应用： 第一步 配凑（凑项、凑系数等）成符合条件的不等式； 第二步 使用基本不等式对其进行求解； 当且仅当时取等号 第三步 得出结论： 函数的最大值为1 练习 1. 已知实数满足，则的最大值为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B. 2. 若正数a，b满足，则的最小值为（ ） A. 16 B. 25 C. 36 D. 49 【答案】A 【解析】 【分析】由得：，代入化简，利用基本不等式可求函数最小值. 【详解】由得：，代入得到： 当且仅当：即时取等号. 故选：A 【点睛】本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题. 3. 已知正实数满足，则的最小值是（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将原式变形为，再利用基本不等式计算可得； 【详解】解： ， 当且仅当时取等号，即，时等号成立， 故选：． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于中档题. 4. 已知，则的最小值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】由，代入变形，利用基本不等式即可得出． 【详解】解：由题意得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 已知，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】， 当且仅当，解得，， 又因为，所以时等号成立. 因此，的最小值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查基本不等式求代数式的最值，考查了“”的代换的应用，考查计算能力，属于基础题. 解题方法模板二：分离法 使用情景：二次关系的分式函数的最值问题 解题模板：第一步 首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式； 第二步 将其化简即可得到基本不等式的形式， 第三步 并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果. 解题模板应用： 例2 求的最小值. 【答案】9 【解析】 解题模板选择： 本题中分子是二次形式且分母是一次形式，故选取解题方法模板二分离法进行解答. 解题模板应用： 第一步，把分母子的一次形式当成一个整体，并将分子的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式； 第二步， 将其化简即可得到基本不等式形式， 第三步，运用基本不等式得出结论： 当且仅当时取等号 所以最小值为9 练习 6. 实数、，，且满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到，由，根据基本不等式，即可求出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，因此，的最小值是. 故选：C. 【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，属于常考题型. 7. 已知，，且，则最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值. 【详解】， 结合可知原式， 且 ， 当且仅当时等号成立. 即最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 8. 已知正实数满足，则的最小值为____________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题中条件，得到，再由基本不等式，即可得出结果. 【详解】， ， 又， 当且仅当，即时取等