专题10 三角函数的最值解题模板-高中数学解题模板

求三角函数的最值解题模板 【考点综述】 三角函数的最值或相关量的取值范围的确定始终是三角函数中的热点问题之一，所涉及的知识广泛，综合性､灵活性较强.解这类问题时要注意思维的严密性，如三角函数值正负号的选取､角的范围的确定､各种情况的分类讨论､及各种隐含条件等等.求三角函数的最值常用方法有：配方法､化一法､数形结合法､换元法､基本不等式法等等.在高考各种题型均有出现如选择题､填空题和解解题，其试题难度属中档题. 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解题方法模板一：化一法 使用情景：函数表达式形如类型 解题模板：第一步运用倍角公式､三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式； 第二步利用辅助角公式化为只含有一个函数名的形式； 第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值. 例1已知函数，则在上的最大值与最小值之差为___________. 【答案】 【解析】 解题模板选择： 本题中三角函数式化简之后是一个正弦､余弦的齐次式，适合于利用辅助角公式，故选取解题方法模板一化一法进行解答. 解题模板应用： 第一步运用倍角公式､三角恒等变换等将所给的函数式化为形如形式； . 第二步利用辅助角公式化为只含有一个函数名的形式； . 第三步利用正弦函数或余弦函数的有界性来确定三角函数的最值： 当时，，故， 故函数的值域为，故答案为. 【典型例题】 1. 已知函数． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调递减区间； （Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求g（x）在区间上的值域． 【答案】（Ⅰ）最小正周期，[]（k∈Z）．（Ⅱ）[0，3]． 【解析】 【分析】 (Ⅰ)先用降幂公式,辅助角公式将化简,然后求得最小正周期和单调减区间; (Ⅱ)先通过平移得到的解析式,由x∈,可计算得到,结合余弦函数的图象和单调性,可得解. 【详解】（Ⅰ）函数1﹣cos（2x）． 所以函数的最小正周期为， 令（k∈Z），整理得（k∈Z）， 所以函数的单调递减区间为[]（k∈Z）． （Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝2cos（2x）+1的图象， 由于x∈，所以，故，所以0≤g（x）≤3，故函数的值域为[0，3]． 【点睛】本题考查了三角函数的性质综合,考查了学生综合分析,转化化归,数学运算的能力,难度较易. 2. 已知向量，． （1）求的最小正周期； （2）求在上的最值． 【答案】（1）（2）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】 （1）利用向量数量积的坐标运算及倍角公式，可得； （2），利用整体换元法求值域. 【详解】（1）∵， ∴ ∴. （2） ∵，∴ ∴ ∴，故的最大值为，最小值为． 【点睛】本题考查正弦型三角函数的周期、与最值，涉及到向量数量积的坐标运算、倍角公式、辅助角公式，是一道容易题. 3. （ 已知函数. （I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值； （II）若,求的值. 【答案】（1）周期为，最大值为2，最小值为-1 （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2） 先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值. 试题解析:（1） 所以 又 所以 由函数图像知. （2）解：由题意 而 所以 所以 所以 =. 考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式 视频 4. 已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角余弦、正弦公式以及辅助角公式将函数的解析式化简，然后利用周期公式可计算出函数的最小正周期； （2）由计算出的取值范围，然后利用正弦函数的性质可得出函数在区间上的最大值和最小值. 【详解】（1）， 因此，函数的最小正周期为； （2），， 当时，函数取得最小值； 当时，函数取得最大值. 【点睛】本题考查三角函数周期和最值的计算，同时也考查了利用二倍角公式以及辅助角公式化简，在求解三角函数在定区间上的最值问题时，首先应计算出对象角的取值范围，结合同名三角函数的基本性质来计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 5. 设函数． （1）求的最小正周期． （2）若函数与的图象关于直线对称，求当时的最大值． 【答案】（1）8；（2）. 【解析】 【分析】(1)由倍角的余弦公式、两角差的正弦公式可将化简为，再根据最小正周期即可求得最小正周期；(2) 【详解】（1）== = 故，的最小正周期为T ==8 （2）在上任取一点，关于的对称点为 由题设知，在上 ∴ == 当时， 在区间上的最大值为 【点睛】本题考查了三角函数，根据倍角的余弦公式、两角差正弦公式化简三角函数式并求最小正周期，