专题09 函数模型解题模板-高中数学解题模板

函数应用问题 【考点综述】 应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现.数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解､分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题.在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键. 【解题方法思维导图预览】 【解题方法】 解答应用问题流程图 1.如果在问题中已经给出了函数模型，这就是知道变量之间的相互依赖的数量关系时，此时就要由问题中的条件，求出关系式中的相关参数得到函数的表达，再按照问题的要求进行有关的计算.解题方法为： 第一步：由题意得到实际问题抽象出的函数解析式 第二步：由函数解析式进一步处理题中的问题. 2.如果在问题中没有给出函数模型，则要根据问题中有关信息建立函数模型，解答流程图如图.解题步骤为： 第一步：提取信息并建立模型. 根据实际问题，简化假设，提炼信息，由于应用问题有实际情境，学生往往不熟悉问题的情境或问题表述中的一些专业术语，加之大多应用问题的文字叙述比较长，有的长达三､四百字，有过多情境描述，使问题中涉及到的量以及量之间的关系不易被学生发现，也就是说阅读能力往往严重影响信息的提取，在教学中要让学生不断地学会简化假设，获取解决问题所需要的信息，要明确问题中涉及哪些量，这些量之间有怎样的关系，特别要注意发现隐性关系. 在弄清了研究的对象之后，首先用字母表示所研究的对象即变量，注意有时为了减轻学生的负担，问题中已经用规定的字母表示变量，如例3至例6都是这样，然后根据题目条件寻找量之间的联系，即等量关系应用问题中等量关系往往是科学的规定，或实验的结果，或调查发现的规律，将题目中文字表述转化数量等式，即列出函数式，这样就建立了函数模型值得注意的是函数模型还包含不等式，不等条件制约着函数的取值，即可得函数的定义域，表达式加定义域才是完全完整的函数模型 第二步：求解模型. 解模的过程就是数学化的处理过程，大多为讨论函数的最优解问题.比较简单的问题就直接转化基本初等函数模型，利用基本初等函数如一次函数､二次函数､反比例函数､指数函数，对数函数､三角函数的图像和性质，问题就可以得以解决，值得一提的是双勾函数也是一个重要的函数，其图象和性质也要熟悉，便于快速分析问题.如例3､例4､例5等.对较为复杂一点问题，会涉及到分类讨论，要在用导数研究函数性质的基础上进行解答. 第三步：如果有必要，需要检验解释. 由于在对应用问题进行模拟处理的过程中，模型与实际并不一定等价，因而模型的解并一定实际问题的解，所以要对模型的解进行检验，看其是否与实际情况相符，如果没有矛盾，不会相悖，才能确定为实际问题的解最后还要作答，以明确所研究应用问题的答案. 实际问题类型一：指数函数模型 例1放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：，其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时，铯137含量的变化率是(太贝克年)，则M(60)=（ ） A.5太贝克 B.太贝克 C.太贝克 D.150太贝克 答案】D 【解析】 解题模板选择：本题中已经给出了函数模型，为指数函数模型，按照函数模型进行解答即可. 解题模板应用： 第一步：由题意得到实际问题抽象出的函数解析式 由题意题中的解析式可得： 由于已知t=30时，铯137含量的变化率是(太贝克年)， 故：， 据此可得：，则函数的解析式为：， 第二步：由函数解析式进一步处理题中的问题. . 故选：D. 【典型例题】 1. 据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加． (1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数； (2)写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式； (3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，) 【答案】（1）1166个；（2），（3）15年 【解析】 【分析】(1)根据题意求出一年后的只数，再求出两年后的只数即可; (2)根据珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加，列出函数关系即可； (3)由题意得到不等式，化简得到，利用对数运算的性质，化简即可求解. 【详解】解：(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为 两年后这种鸟类的个数为 (2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加 则所求的函数关系式为， (3)令，得：两边取常用对数得：，即 考虑到，故，故 因为 所以