第07讲 函数与导数中的零点问题（知识与技能）-2022年高考数学函数与导数（知识、技能、题型训练）重点突破

第6讲 函数与导数中的零点问题 一、函数零点的定义 1.函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。 2.函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。 即：方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点． 二、函数零点的存在性 1.函数零点存在性定理：设函数 在闭区间 上连续，且 ，那么在开区间 内至少有函数 的一个零点，即至少有一点 ，使得 。 （1） 在 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设 连续） ① 若 ，则 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若 ，那么 在 不一定有零点 ③ 若 在 有零点，则 不一定必须异号 2.若 在 上是单调函数且连续，则 在 的零点唯一 三、基本初等函数的零点 1.基本初等函数的零点： ①正比例函数 仅有一个零点。 ②反比例函数 没有零点。 ③一次函数 仅有一个零点。 ④二次函数 ． （1）△＞0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△=0，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜0，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数 没有零点。 ⑥对数函数 仅有一个零点1. ⑦幂函数 ，当 时，仅有一个零点0，当 时，没有零点。 四、非基本初等函数的零点 非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把 转化成 ，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数 （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是函数 零点的个数。 五、函数零点的性质 从“数”的角度看：即是使 的实数； 从“形”的角度看：即是函数 的图象与 轴交点的横坐标； 若函数 的图象在 处与 轴相切，则零点 通常称为不变号零点； 若函数 的图象在 处与 轴相交，则零点 通常称为变号零点． 考向一：函数零点的求法 1.二分法 对于在区间 ， 上连续不断，且满足 的函数 ，通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法． 2.给定精确度ε，用二分法求函数 零点近似值的步骤： （1）确定区间 ， ，验证 EMBED Equation.3 ，给定精度 ； （2）求区间