第07讲 函数与导数中的零点问题（题型训练）-2022年高考数学函数与导数（知识、技能、题型训练）重点突破

第7讲 函数与导数中的零点问题题型训练 题型训练一·函数零点个数的判断 1．（2021·西城·北京育才学校高三月考）若偶函数满足且时，，则方程的根的个数是（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．多于4个 【答案】C 【分析】的解的个数，等价于的图象与函数的图象的交点个数， 因为函数满足，所以周期， 当时，，且为偶函数， 在同一个坐标系中画出函数的图象与函数的图象，如图所示： 显然函数的图象与函数的图象有4个交点，故选：C． 2．（2021·贵州遵义一中高三月考（理））已知定义在上的偶函数满足，当时，．给出下列四个结论：①的图象关于直线对称；②在上为减函数；③的值域为；④有4个零点，其中正确结论的是（ ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②③ 【答案】A 【分析】由题意，为偶函数，且当时，当时， 又，周期为2，当时，；当时， 故可画出的图象，如图所示 由图可知，关于对称，在先减后增，的值域为，故①正确，②③错误； 再在同一直角坐标系下画出的图象，由图可知，与有4个交点，即有4个零点，故④正确。故选：A。 3．（2021·广西高三开学考试（理））已知函数在上的零点个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可得或.因为，则， 由可得或或，解得或或，由可得，综上所述，函数在上的零点个数为.故选：A. 4．已知函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则函数的零点个数为（ ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】因为函数是定义在R上的偶函数且满足，所以，所以，所以函数的周期为2，由可得，所以函数的零点个数转化为函数的图像与的图像交点个数，对于的定义域为，因为，所以为偶函数，所以画出和在轴右侧的图像如图所示，有2个交点， 所以的图像与的图像交点个数为4，即的零点个数为4， 故选：D。 5．函数在[0，2π]的零点个数为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】解：令，则，或，解得或，所以函数在[0，2π]的零点个数为2个.故选：A. 6．若函数满足，且时，，已知函数则函数在区间内的零点个数为（ ） A．14 B．13 C．12 D．11 【答案】C 【分析】解：因为，所以函数是周期为2函数，因为时，，所以作出它的图象，则的图象如图所示：（注意拓展它的区间），再作出函数的图象，容易得出到交点为12个．故选：C． 题型训练二·函数零点的区间判断 7．（2021·河北·天津二中高三月考）函数的图象与函数的图象交点所在的区间可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，是上的增函数，在和上都是减函数，因此在和上都是增函数，由选项只考虑上的情形， ，，所以在上有零点． 故选：B． 8．已知函数，则函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，，无解，此时，无零点； 当时，为增函数，且.令，得，即，令，则函数的零点就是的零点，因为， 所以函数的零点所在区间为.故选：B. 9．已知直线与曲线相切，其中，为自然对数的底数，则函数的零点所在区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，，设切点为，则，解得，故，易知函数单调递增，且，，故函数的零点在区间上.故选：A. 10．已知函数是定义域在R上的奇函数，且时，，则关于在R上零点的说法正确的是（ ） A．有4个零点，其中只有一个零点在内 B．有4个零点，其中只有一个零点在内，两个在内 C．有5个零点都不在内 D．有5个零点，2个正零点中在内，一个在 【答案】C 【分析】时，是二次函数，由得有两个零点2、3；故知图象由图象向上平移0.02个单位得到，所以有两个零点，且在内， 又是上的奇函数，根据奇函数对称性知，在时也有两个零点，且，所以有5个零点都不在内.故选：． 11．已知函数，为其反函数，则函数取最小值时，t所在的区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得,,故,又,故单调递增.又,.故在区间内单调递增,且在上有零点. 故在上有最小值.故选：C 12．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高三月考）已知是自然对数的底数，关于的方程有两个不同的解，（），则（ ） A．， B．， C． D． 【答案】D 【分析】设，则有两个不同的零点，当时，，则，所以在单调递减，又，，所以；当时，，则，令，即，所以时，，所以在单调递增，又，， 所以，又，∴，，又， 故选项A、B、C错误，选项D正确.故选：D. 题型训练三·函数零点的大小比较及零点的和的问题 13．已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解：令，则，得，即，令，则，得，即，因为函数在上为增函数