2.4 平面向量的数量积-人教A版高中数学必修四讲义（解析版）

第四讲 平面向量的数量积 教材要点 学科素养 学考 高考 考法指津 高考考向 1.平面向量的数量积及其几何意义 数学抽象 水平1 水平2 向量的数量积与数的乘法既有区别又有联系，学习时注意对比，明确数的乘法中成立的结论在向量的数量积中是否成立。 【考查内容】 向量的数量积、向量的模、向量的平行、垂直及夹角是高考考查的重点和热点。 【考查题型】选择题、填空题 【分值情况】5分 2.平面向量的数量积的性质及运算律 数学抽象 水平1 水平2 3.数量积的坐标表示 数学运算 水平1 水平2 4.两个向量夹角的坐标运算 数学运算 水平1 水平2 高中数学，同步讲义 必修四 第二章 平面向量 第四讲 平面向量的数量积 知识通关 1 知识点一　向量的夹角 思考1　平面中的任意两个向量都可以平移至同一起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？ 答案　 存在夹角，不一样． 思考2　△ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？ 答案　如图，延长AB至点D，使AB＝BD， 则＝a， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°， 故向量a与b的夹角为120°. 梳理　两个向量夹角的定义 (1)已知两个非零向量a，b，作＝a，＝b，则∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a，b〉，并规定它的范围是0≤〈a，b〉≤π. 在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉＝〈b，a〉． (2)当〈a，b〉＝时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a⊥b. 知识点二　向量在轴上的正射影 思考　向量在轴上的正射影是向量还是数量？其在轴上的坐标的符号取决于谁？ 答案　向量b在轴上的射影是一个向量，其在轴上的坐标为数量，其符号取决于夹角θ的范围：当θ为锐角时，该数量为正值；当θ为钝角时，该数量为负值；当θ为直角时，该数量为0；当θ＝0°时，该数量为|b|；当θ＝180°时，该数量为－|b|. 梳理　向量在轴上的正射影 已知向量a和轴l(如图)． 作＝a，过点O，A分别作轴l的垂线，垂足分别为O1，A1，则向量叫做向量a在轴l上的正射影(简称射影)，该射影在轴l上的坐标，称作a在轴l上的数