抽象函数背景下的对称性、周期性以及“类周期性”

抽象函数背景下的对称性、周期性以及“类周期性” 在高中数学的学习中，每个学生都或多或少的遇到过几次类似 亦或 这类关于函数的抽象描述，大多数学生都能够通过积累经验后，认识到前式涉及到函数对称性，后式涉及到函数周期性。但是大部分学生对于这类抽象表示依然不理解，那么有没有一种较为实在又准确的方式来理解它们并加以记忆呢？ 一、对称性： 1.轴对称 （1）. 以 为引例：关于 的理解方式和角度非常多，但这里我们统一为：该式子体现的是函数的两个函数值之间的关系，其对应的两个自变量分别为 和 。 那么 可以解读为：互为相反的两个自变量（ 和 ）所对应的函数值相等。下面我们通过取若干个常数 ，来模拟 的图象 分别取 EMBED Equation.DSMT4 ，则描点后图象必呈现出如图①所示的对称性： 那么就不难理解用 作为偶函数的定义，即图象关于 轴呈轴对称。 （2）. 下面按照上述方式对 加以解读 首先注意到这两个函数值之间的关系依然是相等关系，而其涉及到的两个自变量分为 和 。因为 ，所以按照数轴上两点的中点坐标公式可得，这两个变化的自变量 和 始终保持着关于 对称的位置关系。 那么 可以解读为：关于 对称的两个自变量对应的函数值始终相等。模拟其图象易得其必呈现出图②的对称性。且其对称轴 是以中点坐标公式的形式产生，非常方便理解和记忆。 （3）. 对于一般的 ，由于 ，那么按照上述方式可以解读为：关于 对称的两个自变量所对应的函数值相等，易得函数 关于 呈轴对称。 小结如下： 一般的，对于函数 ，若对于任意的 都有 ，那么其图象是关于 对称的轴对称图象。 2.中心对称 （1）. 在上文基础上我们更改关系 为 ，那么此时应解读为：关于 对称的两个自变量所对应的函数值互为相反数，那么模拟图象可知其图像会呈现如图③的对称性。 易得此时函数图象是关于 呈中心对称 （2）. 一般的：对于函数 ，若对于任意的 都有 ，那么其图象是关于点 对称的中心对称图象。 轴对称和中心对称以及下文中的周期性经常会同时出现这一个题目中，需要对三者的抽象表示非常熟悉，才能快速领会题目意思。 例题赏析： 1.（河南2015届高三调研题）已知函数 满足 ，且当 时， ，则 与 的图象的交点个数为 参考解析：由 易得 为函数 的对称轴，根据对称性作出 与 的图象，可知交点个数为5个 三、周期性 1. 对于 ，因为 为定值，那么按照上述方式该抽象等式可以解读为：相差 的两个自变量对应的函数值始终相等。这不正是周期为 的函数的意义吗！ 请您尝试： ？ 2. 我们将上式 调整为 ，那么就变成了相差 的两个自变量对应的函数值始终互为相反数。 试问：如果两个自变量相差4，它们对应的函数值是什么关系？ 答案是：相等。 易得：此时函数的周期为 请您尝试推导出以下两个附加条件下的函数的周期性： ? ? 轴对称、中心对称以及周期性的上述表述经常会同时出现这一个题目中，需要对三者的抽象表述非常熟悉，才能快速领会题目意思。 例题赏析： 1.已知定义在 上奇函数 满足 ，试求函数 的周期性。 参考解析：由 易知函数是以 为对称中心的中心对称图象，原点也是其对称中心，那么它会不会是个周期函数？为此我们由 以及 尝试推导出周期性 ，故其周期为4 变式1：若函数 是定义在 上偶函数且满足 ，试求函数 的周期性？ 参考解析： ，由上文周期性知其周期为8 变式2：若函数 是定义在 上的函数，且满足 和 ，试求函数 的周期性？ 参考解析： ，其中 和 关于 对称，由上文周期性知其周期为4 2.已知函数 是定义在 上的偶函数，并且 ，当 时， ，则 参考解析：由 易得函数 的周期为4，故 ，而 ，故 2.5 四、“类周期性“ 问题背景：设函数 ，当 时， 。下面对以下附加条件，我们尝试来作出函数 在 时的图象。 1. 依然沿用上述方式：该等式表示函数 的相差 的两个自变量所对应的函数值也相差 ，而且是“较小的自变量 “对应的函数值“较大的自变量 ”对应的函数值大 。 我们还是先选取几个特值来描点，取 里的 ，我们可以得到 里的相应的 所对应的点的坐标，如图④所示： 将上面所得作图的感受应用到整段图象上，即可得如下作图方法： （1） 先将区间 里的图象平移到区间 （2） 再将所得 里的图象，整体向下平移 个单位即可 2. 类比可知，该附加条件下的作图方法为： （1） 先将区间 里的图象平移到区间 （2） 再将所得 里的图象上每一点的纵坐标缩短为原来的 即可 3. 类比可知，该附加条件下的作图方法为： （1） 先将区间 里的图象平移到区间 （2） 再将所得 里的图象上每一点的纵坐标变为为原来的倒数即可 事实上，这个函数的周期