2.2.1 椭圆及其标准方程（一）-四川省成都市第七中学2021-2022学年人教版数学选修2-1同步课件

2.1.1椭圆及其标准方程 人教版·选修2-1·第二章《圆锥曲线与方程》 用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线； 当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆． 当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考： ● 用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？ 圆锥曲线的历史 两千多年前，古希腊数学家最先开始 研究圆锥曲线，并获得了大量的成果。 古希腊数学家阿波罗尼斯（Apollonius) (约公元前262-前190）采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。著有《圆锥曲线》一书，全书共八卷，含487个命题，古希腊几何的登峰造极之作. 用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。 阿波罗尼斯在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。 * 圆锥截线 π 设圆锥的轴截面顶角为2β，截面π与圆锥轴线OO’的交角为θ(不过顶点O)截得圆锥截线为Γ. PF+PF’=RQ常数 O’ 当β<θ<90o时，截线Γ是椭圆。 以β<θ<90o情形为例 , 类似圆柱截线的情形，可证： Γ O F P β θ F’ Q R 1、当β<θ<90o 时， 截线Γ为椭圆； 圆锥的不同截面 O θ β O’ 设截面π与圆锥轴线OO’的交角为θ. 当截面π经过圆锥顶点O时，…… 当截面π不经过圆锥顶点O且θ =90o时， …… 当截面π不经过圆锥顶点O且θ≠90o时， …… 此时，圆锥的所有母线都和截面π相交(即不平行) 有：AK < AX， 0< < 1 A A’ O O 90o-θ 90o-β =e O F K’ K X A θ β O’ A’ 1、当β<θ<90o 时， 截线Γ为椭圆； 有：AK = AX， = 1 设截面π与圆锥轴线OO’的交角为θ. O θ β O’ 2、当θ= β时， 截线Γ为抛物线; 此时，圆锥有唯一母线和截面π平行. 平移使截面经过顶点，则它和侧面相切于一条母线 4、圆锥的不同截面 =e 90o-θ 90o-β A O F K’ K X θ β O’ A’ A 1、当β<θ<90o 时， 截线Γ为椭圆； O F K’ K X A θ β O’ A’ 2、当θ= β时， 截线Γ为抛物线; 3、当θ< β时， 截线Γ为双曲线。 O β O’ 平移使截面经过顶点，则它和侧面相交于两条母线 此时，圆锥有两条母线和截面π平行. 设截面π与圆锥轴线OO’的交角为θ. 90o-θ 90o-β =e 有：AK > AX， > 1 A θ A θ 思考1： 取一条定长的细绳，把它的两端都固定在黑板的同一点处，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是? 思考2： 如把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在黑板的两点处，套上笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？ 几何画板演示 1、椭圆的定义： 平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。 1、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数； 这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c； 2、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2. 3、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知） M O x y F1 F2 M 如图所示： F1、F2为两定点，且|F1F2|=2c，求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a（2a>2c)的动点M的轨迹方程。 解：以F1F2所在直线为x轴， F1F2 的中点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。 (-c,0) (c,0) (x,y) 设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点， 则:|MF1|+ |MF2|=2a O X Y F1 F2 M (-c,0) (c,0) (x,y) 两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2 即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) 因为2a>2c，即a>c，所以a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中b>0，代入上式可得： b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得： (a>b>0) 这个方程叫做椭