2.2.1 椭圆及其标准方程（一）课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版选修2-1

§2.2.1椭圆及其标准方程 第二章　圆锥曲线与方程　     椭圆 双曲线 抛物线 数学实验： 新课讲解 椭圆的定义: 平面内与两个定点F1 、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。 这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点， 两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。 F1 F2 M 思考：当常数等于|F1F2 |时，点M的轨迹是什么？ 当常数小于|F1F2 |时，点M的轨迹是什么？ 满足几个条件的动点的轨迹是椭圆？ [1]平面内----这是前提 [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a [3]常数 2a 要大于焦距 2c F1 F2 M 满足几个条件的动点的轨迹是椭圆？ [1]平面内----这是前提 [2]动点 M 到两个定点 F1、F2 的距离之和是常数 2a [3]常数 2a 要大于焦距 2c F1 F2 M 动点 M 的轨迹是线段F1F2 . 动点 M 没有轨迹 . O X Y F1 F2 M 步骤一：建立直角坐标系 步骤二：设动点坐标 步骤三：列方程 步骤四：化简方程 求曲线方程的步骤: 2、椭圆的标准方程 步骤五：完备性检验 解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). 设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c>0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) . （想一想：下面怎样化简？） 由椭圆的定义， 代入坐标 O x y M F1 F2 将方程移项后平方得： 两边再平方得： 由椭圆定义知： ( ) ( ) a y c x y c x 2 2 2 2 2 = + - + + + ∴ 这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点是F1(-c ，0)、F2(c ，0)，这里 c2=a2-b2 . 如果椭圆的焦点在y轴上，用类似的方法，可得出它的方程为： 它也是椭圆的标准方程。 两边同除以 得： 焦点在y轴： 焦点在x轴： 椭圆的标准方程 1 o F y x 2 F M 1 2 y o F F M x F1（-c，0）、F2（c，0） F1（0，-c ）、F2（0，c） 注意理解以下几点： ① 在椭圆的两种标准方程中，都有 的要求； ② 在椭圆的两种标准方程中，由于 ， 所以可以根据分母的大小来判定焦点 在哪一个坐标轴上； ③ 椭圆的三个参数 之间的关系是 ， 其中 大小不确定． （2） ，焦点在y轴上； （1） ，焦点在x轴上； 课堂练习. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: 思考：观察图，你能从中找出表示 的线段吗？ 由图可知， 变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0，4)， 结果如何？ 变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？ 已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10； 例1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程 当焦点在X轴时，方程为： 当焦点在Y轴时，方程为： 变式1. 椭圆焦距是4，并且经过点P ，求标准方程。 解：法1：若椭圆的焦点在x轴上， 设它的标准方程为 ∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点P ∴ ……② ∴椭圆的标准方程为 x y F1 F2 P 联立①②可求得： 变式1. 椭圆焦距是4，并且经过点P ，求标准方程。 解：法1：若椭圆的焦点在y轴上， 设它的标准方程为 ∵ c=2，且 c2= a2 - b2 ∴ 4= a2 - b2 ……① 又∵椭圆经过点P ∴ ……② ∴椭圆的标准方程为 x y F1 F2 P 法2：椭圆的定义 求椭圆标准方程的步骤： （1）先判断焦点的位置，设出标准方程；（先定位） （2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b. （后定量) 法3：椭圆在