2.1.2 求曲线的方程（一）-四川省成都市第七中学2021-2022学年人教版数学选修2-1同步课件

2.1 曲线与方程 人教A版选修2-1第二章《圆锥曲线与方程》 2.1.2求曲线的方程（一） “数形结合” 数学思想的基础 M(x,y) （纯粹性） （完备性） f(x,y)=0 0 x y 广东省阳江市第一中学周游数1 * 新课探究 知识要点1 * 我们的目标就是要找x与y的关系式 先找曲线上的点满足的几何条件 知识要点1 * 即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程. 点M1到A、B的距离分别是 （2）设点M1的坐标（x1,y1）是方程①的解，即: x+2y1－7=0 x1=7－2y1 由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤： 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程. (1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； (5)审查证明:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 方法小结 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得到 广东省阳江市第一中学周游数 * 例2.已知一条直线l和它上方的一个点A，点A到l的距离是2,一条曲线也在l的上方，它上面的每一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立适当的坐标系，求这条曲线的方程. 取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴,建立坐标系xOy, 解： 2)列式 3）代换 4)化简 5）审查证明 1）建系设点 因为曲线在x轴的上方，所以y＞0, 所以曲线的方程是 设点M(x,y)是曲线上任意一点，MB⊥x轴，垂足是B， M(x,y) 通过上述两个例题了解坐标法的解题方法，明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础；同时，根据曲线上的点所要适合的条件列出等式，是求曲线方程的重要环节。 在这里常用到一些基本公式，如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公式，中点公式等，因此先要了解上述知识，必要时作适当复习. 例3 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． 解：　[法一] 如图所示，连接QC，因为Q是 OP的中点，所以∠OQC＝90°． 设Q(x，y)，由题意，得 |OQ|2＋|QC|2＝|OC|2， 即x2＋y2＋x2＋(y－3)2＝9， 直接法 例3 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． 解：[法二] 如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上． 定义法 例3 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． 解：[法三] 设P(x1，y1)，Q(x，y)， 代入法 坐标代换法 相关点法 例3 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP的中点Q的轨迹方程． 参数法 解：[法四] 方法总结 运用解析几何中常用定义（例如圆锥曲线定义），可以从曲线定义直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而写出轨迹方程。亦称为待定系数法。 动点所满足的条件不易表达或求出，但形成轨迹的动点都随另一动点的运动而有规律的运动，且点轨迹为给定或容易求得，适宜于用相关点法。亦称为代入法。 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表达成含有的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法。直接法求动点轨迹方程的一般步骤：设点、列式、代换、化简、说明。 求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的方程。 03 01 04 02 定义法： 直接法： 相关点法： 参数法： 练习参数法 变式训练2：过曲线 的顶点O，任作两条互相垂直的弦OA,OB，若分别以OA,OB为直径作圆，求两圆的另一交点C的轨迹方程. 解析：设 ，因为 以OA为直径的圆的方程为：