必考点11抛物线-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点11 抛物线 题型一 抛物线的定义及应用 例题1(1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　) A. 　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 【答案】(1)B　(2)4 【解析】(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 又点P到焦点F的距离为2， ∴由定义知点P到准线的距离为2. ∴xP＋1＝2，∴xP＝1. 代入抛物线方程得|yP|＝2， ∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1. (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 【解题技巧提炼】 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径． 【提醒】注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋. 题型二 抛物线的标准方程与几何意义 例题1(1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　) A．(－1,0)　　　　　　　 B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1) (2)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点A(0,2)，则C的方程为(　　) A．y2＝4x或y2＝8x B.y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 【答案】(1)B　(2)C 【解析】(1)抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－且过点(－1,1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)． (2)由已知得抛物线的焦点F设点M(x0，y0)，则＝，＝.由已知得，·＝0，即－8y0＋16＝0， 因而y0＝4，M. 由|MF|＝5，得 ＝5.又p＞0，解得p＝2或p＝8.故C的方程为y2＝4x或y2＝16x. 【解题技巧提炼】 1．求抛物线标准方程的方法 (1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p)，那么只需求出p即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x轴上的抛物线的标准方程可统一设为y2＝ax(a≠0)，a的正负由题设来定；焦点在y轴上的抛物线的标准方程可设为x2＝ay(a≠0)，这样就减少了不必要的讨论． 2．抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算． 题型三 直线与抛物线的位置关系 例题1设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为2. (1)求直线AB的斜率； (2)设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程． 【解析】(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝2， 故直线AB的斜率k＝. (2)由y＝，得y′＝x. 设M(x3，y3)，由题设知x3＝1，于是M. 设直线AB的方程为y＝x＋m， 故线段AB的中点为N(1,1＋m)，|MN|＝. 将y＝x＋m代入y＝，得x2－2x－2m＝0. 由Δ＝4＋8m＞0，得m＞－，x1,2＝1±. 从而|AB|＝ |x1－x2|＝2. 由题设知|AB|＝2|MN|， 即＝，解得m＝. 所以直线AB的方程为y＝x＋. 【解题技巧提炼】 1．直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)求交点问题，通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组． (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决． 2．解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用焦点弦公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． (2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法． [提醒]　涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解． 题型一 抛物线的定义及应用 1．(变条件)若将本例1中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 【答案】2 【解析】由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2， 即|PB