2.2 第2课时 基本不等式的综合应用-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版(课时作业)

1．设x＞0，则y＝3－3x－的最大值是 A．3　　　　　　　 B．－3 C．3－2 D．－1 解析　∵x＞0， ∴y＝3－.＝3－2≤3－2 当且仅当3x＝时，等号成立． ，且x＞0，即x＝ 答案　C 2．设x，y满足x＋y＝40，且x，y都是正数，则xy的最大值是 A．400　　 B．100　　　 C．40　　 D．20 解析　∵(x＞0，y＞0)，≤ ∴xy≤2＝400.2＝ 当且仅当x＝y＝20时，等号成立． 答案　A 3．(多选)设a＞0，b＞0，给出下列不等式恒成立的是 A．a2＋1＞a　　　　 B．a2＋9＞6a C．(a＋b)≥4≥4 D. 解析　设a＞0，b＞0， a2＋1－a＝＞0，A成立，2＋ a2＋9－6a＝(a－3)2≥0，B不成立， (a＋b)≥4，故C成立，＋＝2＋ a＋≥2，故D成立．故选A、C、D.≥2，b＋ 答案　ACD 4．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． 答案　1 5．用一根长为100 m的绳子能围成一个面积大于600 m2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m，宽＝________ m时，所围成的矩形的面积最大． 解析　设矩形一边的长为x m，则另一边的长为(50－x)m,0<x<50.由题意，得x(50－x)>600，即x2－50x＋600<0，解得20<x<30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m2的矩形．用S表示矩形的面积，则S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625(0<x<50)．当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25.即当矩形的长、宽都为25 m时，所围成的矩形的面积最大． 答案　25　25 6．当x<的最大值． 时，求函数y＝x＋ 解析　y＝＋(2x－3)＋ ＝－，＋ ∵当x<时，3－2x>0， ∴＝4，≥2 ＋ 当且仅当时取等号． ，即x＝－＝ 于是y≤－4＋.，故函数有最大值－＝－ 7．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝8，则(1＋x)(1＋y)的最大值为 A．16　　 B．25　　 　 C．9　　 D．36 解析　(1＋x)(1＋y)≤2 ＝2＝25，2＝ 因此当且仅当1＋x＝1＋y，即x＝y＝4时，(1＋x)·(1＋y)取最大值25，故选B. 答案　B 8．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为 A．50 B．25 C．50 D．100 解析　设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100. 于是S＝xy≤＝50，当且仅当x＝y时等号成立． 答案　A 9．若实数x、y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________． 解析　x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy＝1， ∴(x＋y)2＝xy＋1≤2＋1. ∴(x＋y)2≤1. ∴x＋y≤时等号成立． ，当且仅当x＝y＝ 答案　 10．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________． 解析　因为x>0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，所以有 ，＝≤＝ 即.，故a≥的最大值为 答案　a≥ 11．展销会上，在消费品展区，某企业带来了一款新型节能环保产品参展，并决定大量投放市场．已知该产品年固定研发成本150万元，每生产一台需另投入380元．设该企业一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入R(x)万元， 且R(x)＝ (1)写出年利润S(万元)关于年产量x(万台)的函数解析式；(利润＝销售收入－成本) (2)当年产量为多少万时，该企业获得的利润最大，并求出最大利润． 解析　(1)年利润S(x)＝xR(x)－380x－150＝ (2)当0＜x≤20时， S(x)＝－2x2＋120x－150＝－2(x－30)2＋1650， 函数的对称轴是x＝30，(0,20]是函数的增区间， 当x＝20时，函数取得最大值S(20)＝1450， 当x＞20时，S(x)＝－10＋1990＝1490，＋1990≤－10×2 当x＝时，即x＝25时，等号成立， 此时S(x)的最大值是1490， ∵1450＜1490， ∴当年产量为25万台时，该公司获得的利润最大为1490万元． 12．已知实数a>0，b>0，且2a＋b＝2ab，则a＋2b的最小值为________． 解析　∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝2ab， ∴a＝＞0，解得b＞1. 则a＋2b＝＋2b＋＋2b＝ ＝.时取等号．其最小值为，a＝，当且仅当b＝＝＋2 ＋2(b－1)≥＋ 答案　 $