2.2 第1课时 基本不等式-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】人教A版(课时作业)

1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是 A．a＝±1　　　　　　 B．a＝1 C．a＝－1 D．a＝0 解析　当a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0， 即a＝1时，“＝”成立． 答案　B 2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是 A．a2＋b2 B．2 C．2ab D．a＋b 解析　∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(∵a≠b)， ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b. 又∵a＋b＞2(∵a≠b)，∴a＋b最大． 答案　D 3．下列不等式中正确的是 A．a＋≥4 B．a2＋b2≥4ab C.≥2 D．x2＋≥ 解析　a＜0，则a＋≥4不成立，故A错； a＝1，b＝1，a2＋b2＜4ab，故B错； a＝4，b＝16，则，故C错；＜ 由基本不等式可知D项正确． 答案　D 4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________． ①； ；②a－b≥2≥ ③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. 解析　根据成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． ≥≥xy， 答案　③ 5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 解析　用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2，则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝ ，＝1＋≤ ∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立． 答案　x≤ 6．已知a，b，c为正实数，且a＋b＝1.求证：≥4.＋ 证明　＋1＋＝1＋＋＝＋ ＝2＋＝4.≥2＋2 ＋ 当且仅当a＝b时“＝”成立． 7．(多选)有下列式子，正确的有 A．a2＋1＞2a B.≥2 C.≥1≥2 D．x2＋ 解析　∵a2－2a＋1＝(a－1)2≥0， ∴a2＋1≥2a，故A不正确； 对于B，当x＞0时，≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；＝x＋ 当x＜0时，≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，∴B正确；＝－x－ 对于C，若a＝b＝－1，则＝－2＜2，故C不正确； 对于D，x2＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故D正确． ＝x2＋1＋ 答案　BD 8．若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是 A.≤1＋ B.＞ C.≤≥2 D. 解析　由a＋b＝4，得＝2，故C错；＝≤ 由，故A错；≥≤2得ab≤4，∴ B中，≥1，故B错；＝＝＋ 由2＝8，2得a2＋b2≥2×≥ ∴，D正确． ≤ 答案　D 9．已知a＞b＞c，则 的大小关系是________． 与 解析　∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0， ∴.＝≤ 答案　≤ 10．设a＞0，b＞0，给出下列不等式： ①a2＋1＞a；②≥4； ③(a＋b)≥4；④a2＋9＞6a. 其中恒成立的是________．(填序号) 解析　由于a2＋1－a＝＞0，故①恒成立；2＋ 由于＋＋＝ab＋ ≥2 ＝4.＋2 当且仅当 即a＝b＝1时，等号成立，故②恒成立； 由于(a＋b)＝4.≥2＋2 ＋＝2＋ 当且仅当，即a＝b时等号成立，故③恒成立；＝ 当a＝3时，a2＋9＝6a，故④不恒成立． 综上，①②③正确． 答案　①②③ 11．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞.＋＋ 证明　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴，≥，≥，≥ ∴，＋＋≥＋＋ 即a＋b＋c≥.＋＋ 由于a，b，c不全相等，∴等号不成立， ∴a＋b＋c＞.＋＋ 12．已知a，b都是正数，求证： .≤ ≤≤ 证明　∵，≥2＋ ∴.≤，即≤ 又∵2＝ ≤，＝ ∴.≤ 又由基本不等式得，≥ 故(当且仅当a＝b时，等号成立)．≤ ≤≤ $