2.4.2 简单幂函数的图象和性质-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】北师大版（课后案）

1．若幂函数f(x)的图象经过点等于，则f A．4　　　 B．2　　　　 C.　　　　 D. 解析　设f(x)＝xα，则＝2α，∴α＝－2. ∴f(x)＝x－2.∴f－2＝22＝4.＝ 答案　A 2．若幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在(0，＋∞)上单调递增，则实数m＝ A．4 B．－1 C．2 D．－1或4 解析　幂函数f(x)＝(m2－3m－3)xm在(0，＋∞)上单调递增，所以m2－3m－3＝1，并且m＞0，解得m＝4. 答案　A 3．下图的曲线是幂函数y＝xn在第一象限内的图象，已知n分别取±1，，2四个值，相应的曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为 A．－1，，－1，1,2 B．2,1， C.，－1， D．2，，－1,2， 解析　函数y＝x－1在第一象限内单调递减，对应的图象为C4；y＝x对应的图象为一条过原点的直线，对应的图象为C2；y＝x2对应的图象为抛物线，对应的图象应为C1； y＝x在第一象限内的图象是C3； 所以与曲线C1，C2，C3，C4对应的n依次为2,1，，－1. 答案　B 4．下列幂函数中是奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的是________(填序号)． ①y＝x2；②y＝x；③y＝x；④y＝x3；⑤y＝x－1. 解析　由奇偶性的定义知y＝x2为偶函数，y＝x既不是奇函数也不是偶函数．由幂函数的单调性知y＝x－1在(0，＋∞)上单调递减，易知②④满足题意． ＝ 答案　②④ 5．幂函数y＝x－1 在[－4，－2]上的最小值为________． 解析　∵y＝x－1在(－∞，0)上单调递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上递减，∴y＝x－1在[－4，－2]上的最小值是－. 答案　－ 6．已知幂函数f(x)＝x(m∈N＋)． (1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性； (2)若函数f(x)的图象经过点(2，)，试确定m的值，并求满足f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围． 解析　(1)∵m∈N＋， ∴m2＋m＝m×(m＋1)为偶数． 令m2＋m＝2k，k∈N＋， 则f(x)＝， ∴f(x)的定义域为[0，＋∞)， 且f(x)在[0，＋∞)上为增函数． (2)由题意可得，∴m2＋m＝2，＝2＝2 解得m＝1或m＝－2(舍去)，∴f(x)＝x. 由(1)知f(x)在定义域[0，＋∞)上为增函数， ∴f(2－a)＞f(a－1)等价于 解得1≤a＜.，故实数a的取值范围为 7．(多选题)下列结论中，不正确的是 A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα(α∈R)，y＞0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在它的定义域上不是减函数，故选项D不正确． 答案　ABD 8．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于 A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 解析　∵幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，∴3m－5＜0，即m＜.又∵m∈N，∴m＝0,1. ∵f(－x)＝f(x)，∴函数f(x)是偶函数． 当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数； 当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数． ∴m＝1. 答案　B 9．函数y＝(m－1)xm2－m为幂函数，则该函数为________(填序号)． ①奇函数；②偶函数；③增函数；④减函数． 解析　由y＝(m－1)xm2－m为幂函数，得m－1＝1，即m＝2，则该函数为y＝x2，故该函数为偶函数，在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数． 答案　② 10．为了保证信息的安全传输，有一种密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．现在加密密钥为y＝xα(α为常数)，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是________． 解析　由题目可知加密密钥y＝xα(α是常数)是一个幂函数模型，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值．由题意，得2＝4α，解得α＝＝3，得x＝9，即明文是9.，由x，则y＝x 答案　9 11．已知幂函数y＝f(x)＝x－m2－2m＋3(其中－2＜m＜2，m∈Z)满足： ①在区间(－∞，0)上为减函数； ②对任意的x∈R，都有f(－x)－f(x)＝0.