2.4.1 函数的奇偶性-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】北师大版（课后案）

1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A．y＝|x|(x∈R)　　　 　 B．y＝(x≠0) C．y＝－x2(x∈R) D．y＝－x(x∈R) 解析　根据题意，依次分析选项：对于A，y＝|x|为偶函数，不符合题意；对于B，y＝(x≠0)，是奇函数但在其定义域上不是减函数，不符合题意；对于C，y＝－x2是二次函数，为偶函数，不符合题意；对于D，y＝－x是正比例函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数，符合题意． 答案　D 2．(多选题)定义在R上的偶函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，则下列结论不正确的是 A．f(3)＞f(－4)＜f(－π) B．f(－π)＜f(－4)＜f(3) C．f(3)＜f(－π)＜f(－4) D．f(－4)＜f(－π)＜f(3) 解析　∵f(x)在R上是偶函数， ∴f(－π)＝f(π)，f(－4)＝f(4)． 而3＜π＜4，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数， ∴f(3)＜f(π)＜f(4)，即f(3)＜f(－π)＜f(－4)．故仅C正确． 答案　ABD 3．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝－x＋1，则当x＜0时，f(x)的解析式为 A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝－x－1 C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x－1 解析　设x＜0，则－x＞0. ∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数． ∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1(x＜0)． 答案　B 4．已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－x2＋＋t，则t＝________，f(－2)＝________. 解析　因为函数f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)＝0，即－02＋＋t＝0， 解得t＝－1.所以f(x)＝－x2＋－1. 所以f(2)＝－22＋.－1＝－ 又函数f(x)为R上的奇函数， 所以f(－2)＝－f(2)＝. 答案　－1　 5．设偶函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如下图所示，则不等式f(x)＜0的解集是________． 解析　因为偶函数的图象关于y轴对称，所以可根据对称性确定不等式f(x)＜0的解集． ∵当x∈[0,5]时，f(x)＜0的解集为{x|2＜x≤5}， 所以当x∈[－5,0]时， f(x)＜0的解集为{x|－5≤x＜－2}． ∴f(x)＜0的解集是{x|－5≤x＜－2，或2＜x≤5}． 答案　{x|－5≤x＜－2或2＜x≤5} 6．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，且满足下列条件： ①f(x)为奇函数； ②f(x)在定义域上是减函数； ③f(1－a)＋f(1－a2)＜0. 求实数a的取值范围． 解析　∵f(x)为奇函数，∴f(1－a2)＝－f(a2－1)， ∴f(1－a)＋f(1－a2)＜0 ⇒f(1－a)＜－f(1－a2) ⇒f(1－a)＜f(a2－1)． ∵f(x)在定义域(－1,1)上是减函数， ∴解得0＜a＜1， 故实数a的取值范围为(0,1)． 7．(多选题)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 A．|f(x)|g(x)是奇函数 B．f(x)|g(x)|是奇函数 C．f(x)＋|g(x)|是偶函数 D．|f(x)|＋g(x)是偶函数 解析　A中，令h(x)＝|f(x)|·g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴函数是偶函数，A错误；B中，令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)·|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴C中函数是奇函数，B正确；C中，由f(x)是奇函数，可得f(－x)＝－f(x)，由g(x)是偶函数可得g(－x)＝g(x)，由f(－x)＋|g(－x)|＝－f(x)＋|g(x)|知C错误；D中，由|f(－x)|＋g(－x)＝|－f(x)|＋g(x)＝|f(x)|＋g(x)，知D正确．故选BD. 答案　BD 8．已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是 A．[3,5] B．[－1,1] C．[1,3] D．[－1,1]∪[3,5] 解析　因为偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(3)＝1，所以不等式－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(|x－2|)≤f(3)，所以1≤|x－2|≤3，得1≤x－2≤3或－3≤x－2≤－1， 即3≤x≤5或－1≤x≤1， 即x的取值范围是[－1,1]∪[3,5]． 答案　D 9．已知函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，则常数m，n的值分别为__