1.4.3 一元二次不等式的应用(习题课)-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】北师大版（课后案）

1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝，则A∩B等于 A．{x|－1≤x＜0}　　　 B．{x|0＜x≤1} C．{x|0≤x＜2} D．{x|0≤x≤1} 解析　因为A＝{x|－1≤x≤1}， B＝{x|0＜x≤2}， 所以A∩B＝{x|0＜x≤1}． 答案　B 2．若x2－2ax＋2≥0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 A．－＜a＜ B．－＜a≤ C．－≤a≤ D．－≤a＜ 解析　Δ＝(－2a)2－4×1×2≤0，∴－.≤a≤ 答案　D 3．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 A．100台　 B．120台　 C．150台　 D．180台 解析　3000＋20x－0.1x2≤25x⇔x2＋50x－30 000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150. 答案　C 4．不等式≥1的解集为________． 解析　因为.≤0，等价于(2x－1)(x＋4)≤0，x＋4≠0，解得－4＜x≤≥0，所以≥1等价于 答案　 5．若不等式x2－4x＋3m＜0的解集为空集，则实数m的取值范围是________． 解析　由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥. 答案　 6．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时，每年的销售量减少10P万件，据此，问： (1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求P的范围； (2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P值； (3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P值． 解析　税率为P%时，销售量为(80－10P)万件， 即f(P)＝80(80－10P)， 税金为80(80－10P)·P%，其中0＜P＜8. (1)由 解得2≤P≤6.故P的范围为[2,6]． (2)∵f(P)＝80(80－10P)(2≤P≤6)为减函数， ∴当P＝2时，厂家获得最大的销售金额， f(2)＝4800(万元)． (3)∵0＜P＜8， g(P)＝80(80－10P)·P%＝－8(P－4)2＋128， ∴当P＝4时，国家所得税金最高，为128万元． 7．若关于x的不等式x2－4x－m≥0对任意x∈(0,1]恒成立，则m的最大值为 A．1 B．－1 C．－3 D．3 解析　由已知可得m≤x2－4x对一切x∈(0,1]恒成立，又f(x)＝x2－4x在(0,1]上为减函数， ∴f(x)min＝f(1)＝－3，∴m≤－3. 答案　C 8．在R上定义运算：x*y＝x(1－y)．若不等式(x－a)*(x＋a)＜1对任意实数x恒成立，则 A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2 C．－＜a＜ D．－＜a＜ 解析　依题意得x－a－x2＋a2＜1恒成立， 即x2－x－a2＋a＋1＞0恒成立， 所以Δ＝a2－a－.＜a＜＜0恒成立，解得－ 答案　C 9．当1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________． 解析　设f(x)＝x2＋mx＋4， 要使1＜x＜2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立． 则有f(1)≤0，f(2)≤0，即1＋m＋4≤0,4＋2m＋4≤0.解得m≤－5. 答案　(－∞，－5] 10．某辆汽车以x km/h的速度在高速公路上匀速行使(考虑到高速公路行车安全，要求60≤x≤120)时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为L，其中k为常数．若汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L，则k＝________.欲使每小时的油耗不超过9 L，则速度x的取值范围为________． 解析　由于“汽车以120 km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5 L”，所以－20≥9，解得45≤x≤100，依题意60≤x≤120，－20，依题意＝11.5，解得k＝100，故每小时油耗为 故60≤x≤100.所以速度x的取值范围为[60,100]． 答案　100　[60,100] 11．关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0. (1)m为何实数时，方程有两正实数根？ (2)m为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？ 解析　解法一　(1)由已知，得 解得－ ≤m＜－1或m＞1， 即m的取值范围是∪(1，＋∞)． (2)由已知，得解得－1＜m＜1. 所以m的取值范围是(－1,1)． 解法二　(1)设f(x)＝x2－2(m＋2)x