1.3.2 第1课时 基本不等式-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】北师大版（课后案）

1．已知0＜x＜1，则当x(1－x)取最大值时，x的值为 A.　 　 　　 　 　 B. C.　 　 　 D. 解析　∵0＜x＜1，∴1－x＞0，∴x(1－x)≤时，等号成立． ，当且仅当x＝1－x，即x＝2＝ 答案　B 2．已知a，b是不相等的正数，x＝，则x，y的关系是，y＝ A．x＞y B．x＜y C．x＞xy D．y＜ 解析　x2＝＝a＋b，y2＝a＋b，所以x2＜y2，∵x＞0，y＞0，∴x＜y.＜ 答案　B 3．《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如下图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为 A.(a＞0，b＞0) ≤ B.(a＞0，b＞0，a≠b) ＜ C.(a＞0，b＞0) ≤ D.(a＞0，b＞0，a≠b) ＜＜ 解析　由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝(a＞0，b＞0，a≠b)．故选D.＜＜，∵DE＜DC＜DO，∴＝，DE＝＝，易得DC＝ 答案　D 4．当a，b∈R时，下列不等关系成立的是________． ①；　③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab；　②a－b≥2≥ 解析　根据成立的条件判断，知①②④错，只有③正确． ≥≥xy， 答案　③ 5．某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为________． 解析　用两种方法求出第三年的产量分别为 A(1＋a)(1＋b)，A(1＋x)2， 则有(1＋x)2＝(1＋a)(1＋b)． ∴1＋x＝，＝1＋≤ ∴x≤.当且仅当a＝b时等号成立． 答案　x≤ 6．已知a，b为正实数，且a＋b＝1.求证：≥4.＋ 证明　＋1＋＝1＋＋＝＋ ＝2＋＝4.≥2＋2 ＋ 当且仅当a＝b时“等号”成立． 7．(多选题)已知a＞0，b＞0，则下列不等式关系正确的是 A．ab≤2 B．ab≤ C.2≤ D.≥ 解析　由基本不等式知A，C正确，由重要不等式知B正确，由2，≥ab得，ab≤ ∴2，故选ABC.≥ 答案　ABC 8．(多选题)若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列说法错误的是 A．ab有最小值有最小值＋ B. C.有最小值4 D．a2＋b2有最小值＋ 解析　∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2， ∴ab≤，∴D错误． ，不是，∴a2＋b2的最小值是＝有最小值4，∴C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＋≥4，∴＝＝＋，∴B项错误；有最大值＋，即≤＋＝2，∴≤1＋2＝1＋2)2＝a＋b＋2＋，∴选项A错误；(，∴ab有最大值 答案　ABD 9．已知a＞b＞c，则的大小关系是________． 与 解析　∵a＞b＞c， ∴a－b＞0，b－c＞0， ∴.＝≤ 答案　≤ 10．已知函数f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________. 解析　f(x)＝4x＋，.又由已知x＝3时，f(x)min＝4时等号成立，此时f(x)取得最小值4，即x＝(x＞0，a＞0)，当且仅当4x＝＝4≥2 ∴＝3，即a＝36. 答案　36 11．已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：a＋b＋c＞.＋＋ 证明　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴.由于a，b，c不全相等，∴等号不成立，＋＋，即a＋b＋c≥＋＋≥＋＋，∴≥，≥，≥ ∴a＋b＋c＞.＋＋ 12．已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值． ＋ 解析　因为x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)· ＝a＋b＋)2，＋＝(≥a＋b＋2＋ 当且仅当时，等号成立，＝，即＝ 所以x＋y的最小值为()2＝18，＋ 又a＋b＝10，所以ab＝16. 所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的两根， 所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2. $