1.2.1 第2课时 充要条件-2021-2022学年高中数学必修第一册新课标辅导【精讲精练】北师大版（课后案）

1．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　“a＞b”推不出“a2＞b2”， 例如，2＞－3，但4＜9；“a2＞b2”也推不出“a＞b”， 例如，9＞4，但－3＜2. 答案　D 2．(多选题)设全集为U，在下列选项中，是B⊆A的充要条件的有 A．A∪B＝A　　　　　 B．(∁UA)∩B＝∅ C．(∁UA)⊆(∁UB) D．A∪(∁UB)＝U 解析　由Venn图可知，A，B，C，D都是充要条件，故选ABCD. 答案　ABCD 3．“a＞1”是“＜1”成立的 A．充分不必要条件　 　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由＞0，得满足条件的a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．由于(1，＋∞)((－∞，0)∪(1，＋∞)，＜1得 所以“a＞1”是“＜1”成立的充分不必要条件． 答案　A 4．设a，b是实数，则“a＋b＞0”是“ab＞0”的________条件． 解析　若a＋b＞0，取a＝3，b＝－2，则ab＞0不成立；反之，若ab＞0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b＞0也不成立，因此“a＋b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要条件． 答案　既不充分也不必要 5．若“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则实数a的最大值为________． 解析　由x2＞1，得x＜－1或x＞1.又“x2＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则由“x＜a”可以推出“x2＞1”，但由“x2＞1”推不出“x＜a”，所以a≤－1，所以实数a的最大值为－1. 答案　－1 6．在下列电路图中，分别判断闭合开关A是灯泡B亮的什么条件． 解析　如题干图(1)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充分不必要条件； 如题干图(2)所示，开关A闭合是灯泡B亮的必要不充分条件； 如题干图(3)所示，开关A闭合是灯泡B亮的充要条件； 如题干图(4)所示，开关A闭合是灯泡B亮的既不充分也不必要条件． 7．(多选题)若非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，则下列结论不正确的是 A．“x∈C”是“x∈A”的充分条件但不是必要条件 B．“x∈C”是“x∈A”的必要条件但不是充分条件 C．“x∈C”是“x∈A”的充要条件 D．“x∈C”既不是“x∈A”的充分条件，也不是“x∈A”的必要条件 解析　∵非空集合A，B，C满足A∪B＝C，且B不是A的子集，∴由x∈A⇒x∈A∪B⇒x∈C. 由x∈C⇒x∈A∪B⇒x∈A或x∈B. ∵B不是A的子集，∴不一定有x∈A，即仅有B正确． 答案　ACD 8．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但AD，故选A. 答案　A 9．已知a，b是实数，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”是“ab＞0”的 ________条件． 解析　因为|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a2＋2ab＋b2＝a2＋2|ab|＋b2⇔|ab|＝ab⇔ab≥0，而由ab≥0不能推出ab＞0，由ab＞0能推出ab≥0，所以由|a＋b|＝|a|＋|b|不能推出ab＞0，由ab＞0能推出|a＋b|＝|a|＋|b|，故应填必要不充分条件． 答案　必要不充分条件 10．若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空． (1)“a，b都为0”的必要条件是________； (2)“a，b都不为0”的充分条件是________； (3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________． 解析　①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③a(a2＋b2)＝0⇔a＝0或 ④ab＞0⇔则a，b都不为0.或 答案　(1)①②③　(2)④　(3)① 11．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2. 证明　(1)充分性：∵m≥2，∴Δ＝m2－4≥0， 方程x2＋mx＋1＝0有实根， 设x2＋mx＋1＝0的两根为x1，x2， 由韦达定理知：x1x2＝1＞0， ∴x1，x2同号， 又∵x1＋x2＝－m≤－2， ∴x1，x2同为负根． (2)必要性：∵x2＋mx＋1＝0的两个实根x1，x2均为负，且x1x2＝1， ∴m－2＝－(x1＋x2)－2＝－－2 ＝－≥0.＝－ ∴m≥2.综上(1)，(2)知命题得证． 12．(一题多解)已知方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0有两个大于2的根，试求实数m的取值范围． 解析　解法一　由于方程