《中学教材全解》2013-2014学年高中数学（人教实验A版选修2-1）第二章《圆锥曲线与方程》本章练测（5份，含答案）

2.4 抛物线同步练测 建议用时 实际用时 满分 实际得分 45分钟 100分 一、选择题（每小题5分，共20分） 1．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为(　　) A．圆　　　　　 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2.抛物线x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为（ ） A. B. C. D. 3．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　) A．2 B．3 C. D. 4.圆心在抛物线 （ ）上，并且与抛物线的准线及 轴都相切的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共15分） 5. 已知圆抛物线的准线为l，设抛物线上任一点P到直线l的距离为m，则m+｜PC｜的最小值为 . 6．若直线l过定点M(1,2)且与抛物线y＝2x2有且仅有一个公共点，则直线l的方程为 ． 7.探照灯的反射镜的纵截面是抛物线的一部分，灯口直径60 灯深40 光源在抛物线的焦点处，则光源放置位置为灯轴上距顶点 处. 三、解答题(共65分) 8.（15分） 抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程 9. （15分）已知抛物线方程为标准方程，焦点在y轴上，抛物线上一点M(a，－4)到焦点F的距离为5，求抛物线的方程和a的值 10. （15分）正方形的一条边在直线上，顶点、在抛物线上，求正方形的边长 11.（20分）已知抛物线上两个动点及一个定点是抛物线的焦点，且、、成等差数列，线段的垂直平分线与轴交于一点． （1）求点的坐标（用表示）； （2）过点与垂直的直线交抛物线于两点，若求△的面积． 一、选择题 1. D 解析：由题意知，点P到点(2,0)的距离与点P到直线x＝－2的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，故选D. 2. B 解析： =x的准线为x=- ，焦点为( ，0)， 设由抛物线定义知 =2，∴=2- = . 由= ，得=± . 3.A 解析：∵ 直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x的准线，∴ 点P到直线l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线的焦点)，∴ 点 P到直线l1、l2的距离之和的最小值为点F到直线l1的距离＝2，故选A. 4. D 解析：抛物线的焦点坐标为由圆心在抛物线上，且与轴和该抛物线的准线都相切以及抛物线的定义可知，所求圆的圆心的横坐标即圆心是半径长是1，故所求圆的方程为 ． 二、填空题 5. 解析：设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，当C、P、F三点共线时，m+｜PC｜取得最小值 ｜CF｜，即 ＝ . 6.x＝1或4x－y－2＝0 解析：当直线l的斜率不存在，即直线l的方程是x＝1时，显然该直线与抛物线 y＝2x2只有一个公共点，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是y－2＝k(x－1)， 由 消去y得2x2－kx＋(k－2)＝0， Δ＝k2－8(k－2)＝0，k＝4， 所以直线l的方程是y－2＝4(x－1)，即4x－y－2＝0. 综上所述，直线l的方程是x＝1或4x－y－2＝0. 7 解析：以灯轴所在直线为轴，顶点为原点建立平面直角坐标系，设抛物线方程为点在抛物线上，所以所以所以 因此，光源的位置为灯轴上距顶点cm处. 三、解答题 8.解：依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则直线方程为y＝－x＋ p. 设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B两点分别作准线的垂线，垂足分别为点C、D， 则由抛物线定义得 |AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|＝x1＋，即x1＋x2＋p＝8. ①＋x2＋ 又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点， 由＝0，所以x1＋x2＝3p. 消去y，得x2－3px＋ 将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x. 当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时， 同理可求得抛物线方程为y2＝－4x. 综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x. 9. 解：∵ 抛物线顶点在原点，对称轴为y轴，∴ 设抛物线方程为x2＝2py(p≠0)． 又点M(a，－4)在抛物线上，且与焦点F的距离为5， ∴ p<0且－ ＋4＝5. ∴ p＝－2，即抛物线方程为x2＝－4y.将点M(a，－4)代入方程，可得a＝±4. 10. 解：设直线的方程为,由 消