专题07 命题及其关系、充分条件与必要条件（重难点突破）-【课后辅导专用】2021年秋季高二数学上学期精品讲义（人教A版）

专题07 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、考情分析 二、考点梳理 【基础知识梳理】 1．命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题． 2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性； ②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 【特别提醒】 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 【知识拓展】 1． 否命题与命题的否定：否命题既是否定条件又是否定结论；而命题的否定只是否定结论； 2． 充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系； 3． 原命题与逆否命题：非p是非q的充分不必要条件p是q的必要不充分条件； 三、题型突破 (一) 四种命题及其相互关系 例1．（1）、（2021·安顺市第三高级中学高三月考（理））命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题是（ ） A．若，都是偶数，则是奇数 B．若，都不是奇数，则不是偶数 C．若不是偶数，则，都不是奇数 D．若不是偶数，则，不都是奇数 【答案】D 【分析】 将原命题交换条件和结论并且否定条件和结论可得逆否命题，即可得正确答案. 【详解】 命题“若，都是奇数，则是偶数”的逆否命题： 若不是偶数，则，不都是奇数， 故选：D. （2）．（2021·沙坪坝区·重庆八中高三月考）下列命题中其中真命题为（ ） A．“等边三角形三内角都为”的逆否命题； B．“若，则有实根”的逆否命题； C．“全等三角形的面积相等”的否命题； D．“若，则”的否命题； 【答案】AB 【分析】 选项A和选项B：判断原命题的真假，即可得出逆否命题的真假； 选项C和选项D：写出原命题的否命题，然后再判断真假. 【详解】 选项A：因为命题“等边三角形三内角都为”为真命题，所以其逆否命题也为真命题， 所以选项A为真命题； 选项B：当时，，所以方程有实根，即命题“若，则有实根”为真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以选项B为真命题； 选项C：“全等三角形的面积相等”的否命题为“不全等的三角形面积不相等”，显然为假命题，所以选项C为假命题； 选项D：命题“若，则”的否命题为“若，则”， 显然为假命题，所以选项D为假命题. 故选：AB. 【变式训练1-1】．（2020·上海高一专题练习）有下列四个命题： ①“若，则互为相反数”的逆命题； ②“全等三角形的面积相等”的否命题； ③“若，则有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角相等”逆命题； 其中真命题的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用逆命题的定义判断①和④，利用否命题的定义判断②，由原命题和逆否命题的关系判断③． 【详解】 ①的逆命题为“若互为相反数，则”，为真命题； ②的否命题为“不全等的三角形，面积一定不等”，为假命题； ③为真命题，∵时，一元二次方程的判别式，故有实根，原命题为真，从而它的逆否命题为真命题； ④为真命题，“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形” 故选：C 【变式训练1-2】．（2021·江苏）下列命题是真命题的是（ ） A．如果与互为相反数，那么 B．，方程最多有一个实数根 C．为任意一个自然数，则 D．任何两个无理数之间都有一个有理数 【答案】D 【分析】 根据题意，依次判断各命题即可求得答案. 【详解】 解:对于A选项，当时，满足与互为相反数，不满足，故A选项错误； 对于B选项，当时，方程有无数个实数根，故错误； 对于C选项，当，不满足，故错误； 对于D选项，任何两个无理数之间都有一个有理数，正确. 故选：D (二) 充分条件与必要条件的判定 例2．（1）、（2020届湖南省长沙市长郡中学高三第三次适应性考试）设是虚数单位，则“复数为纯虚数”是“”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【