1.1 命题及其关系-【优鸿】高中选修2-1数学同步提分练(人教A版)

高中数学·人教版高中数学选修2-1 难度1 第⼀章 常⽤逻辑⽤语 命题及其关系 1. 下列语句是命题的有（     ）. ① ；② ；③存在 ，满足 ；④平行于同一条直线的 两条直线平行吗？ A. ③④ B. ②④ C. ①② D. ①③ 2. 若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的（    ）. A. 逆命题 B. 否命题 C. 其他判断都不对 D. 逆否命题 3. 给出下列命题：①若 ，则 ；②方程 有两个实根；③对于实数 x，若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤正方形不是菱形. 其中__________是真命题，__________是假命题.（填序号） 4. 判断下列语句是不是命题. 若a为正无理数，则 也是无理数. 5. 把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论. (1)相似三角形的对应角相等； (2)当 时，函数 是增函数. 6. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假： 若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除. 7. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假： 若 都是偶数，则 是偶数. 8. 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假： 若 ，方程 有实数根. 参考答案 1 D 2 D 3 ③；①②④⑤ 4 是命题 5 （1）若两个三⻆形是相似三⻆形，则它们的对应⻆相等； 条件是：两个三⻆形是相似三⻆形；结论是：它们的对应⻆相等 （2）若 ，则函数 是增函数； 条件是： ；结论是：函数 是增函数 6 逆命题：若⼀个整数能被 整除，则这个整数的末位数字是 ；是假命题. 否命题：若⼀个整数的末位数字不是 ，则这个整数不能被 整除；是假命题. 逆否命题：若⼀个整数不能被 整除，则这个整数的末位数字不是 ；是真命题 7 逆命题：若 是偶数，则 都是偶数；是假命题. 否命题：若 不都是偶数，则 不是偶数；是假命题. 逆否命题：若 不是偶数，则 不都是偶数；是真命题 8 逆命题：若⽅程 有实数根，则 ；是假命题. 否命题：若 ，则⽅程 没有实数根；是假命题. 逆否命题：若⽅程 没有实数根，则 ；是真命题 高中数学·人教版高中数学选修2-1 难度2 第⼀章 常⽤逻辑⽤语 命题及其关系 1. 设M，N是两个集合，则下列命题是真命题的为（    ）. A. 如果 ，那么 B. 如果 ，那么 C. 如果 ，那么 D. 如果 ，那么 2. 已知直线m，n互不重合，平面 互不重合，则下列命题为真命题的是（     ）. A. 若 ， ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ， ，则 且 3. 给出下列几个命题： ①“若 ，则 ”的否命题； ②“若 ，则x，y互为相反数”的逆命题； ③“若 ，则 ”的逆否命题. 其中真命题的序号是________. 4. 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断它们的真假. 偶函数的图象关于 轴对称. 5. 证明：若 ，则 . 6. 求证：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 参考答案 1 B 2 B 3 ②③ 4 若⼀个函数是偶函数，则这个函数的图象关于 轴对称；真命题 5 ∵若 ，则 是⼀个陈述句且能判断真假， ∴这个语句是命题. ∵原命题是若 ，则 ， ∴它的逆否命题是若 ，则 . ∵逆否命题是若 ，则 ， ∴条件是： ，结论是 . 现判断逆否命题的真假： ∵ ， ∴ ， ∴ ，即
， . ∴逆否命题是真命题. ∵原命题和逆否命题的真假性相同且逆否命题是真命题， ∴原命题也是真命题，即若 ，则 . 6 ∵圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分是⼀个陈述句且能判断真假， ∴这个语句是命题. 已知命题“圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分”， 将命题写成“若p，则q”的形式是“若圆的两条相交弦不是直径，则它们不能互相平分”. ∵原命题是：若圆的两条相交弦不是直径，则它们不能互相平分， ∴它的逆否命题是：若圆的两条相交弦能互相平分，则这两条弦是直径. 原命题的逆否命题是：若圆的两条相交弦能互相平分，则这两条弦是直径. 现证明逆否命题： 如图，AB，CD是 的两条相交弦且互相平分（圆⼼O未标注出来），交点是点E，连接 AC，BD： ∵AB，CD互相平分，且交点为E， ∴ ， ， ， ∴ . ∵圆周⻆ 所对的弧是 ， 圆周⻆ 所对的弧是 ， ， ∴ . ∵ ， ∴ . ∵ ， ， ∴ ∴ ∴弦AB的两个端点分圆成两条相等的弧， ∴AB是直径. 同理，CD是直径. 综上，若圆的两条相交弦能互相平分，则这两条弦是直径，即原命题的逆否命题是真命题. ∵原命题的逆否命题是真命题且原命题和逆否命题真假性相同， ∴原命题的逆否命题是真命题. 高中数学·人教版高中数学选修2-