专题20 利用正（余）弦定理破解解三角形问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题20 利用正（余）弦定理破解解三角形问题 考纲要求: 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题 . 基础知识回顾: 1.＝2R，其中R是三角形外接圆的半径． ＝＝ 由正弦定理可以变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C. 2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C． 变形：cos A＝. ，cos C＝，cos B＝ 3.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsinA a＝bsinA bsinA＜a＜ba≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 4.三角形常用的面积公式 (1)S＝. bcsinA＝acsinB＝absinC＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝ (3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．应用举例:类型一、利用正（余）弦定理解三角形 【例1】（2021·兰州市第二十七中学高三）在△ 中，内角A， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， ，则 的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据面积公式及余弦定理求出 ，以及根据正弦定理变形 ，进一步求出答案. 【详解】 ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ EMBED Equation.DSMT4 . 【例2】（2021·全国高三其他模拟）在 中， ， ， ， 平分 交 于点 则线段 的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设 ， ，则 ，在 和 中运用正弦定理得到 和 的关系式；在 中运用正弦定理及二倍角公式可解得 ，代入 和 的关系式即可得到 的长. 【详解】 设 ， ，则 ，在 中，由正弦定理，得 ， 在 中，由正弦定理，得 ，两式相除，得 ，即 ，所以 ，在 中，由正弦定理，得 ，即 ，又因为 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ，化简得 ，解得 或 ， 代入 得 ，即 . 【例3】（多选题）（2021·全国高三专题练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，则下列结论正确的是（ ） A． B． 是钝角三角形 C． 的最大内角是最小内角的 倍 D．若 ，则 外接圆半径为 【答案】ACD 【分析】 由正弦定理可判断A；由余弦定理可判断B；由余弦定理和二倍角公式可判断C；由正弦定理可判断D. 【详解】 由 ，可设 ， ， ， ，根据正弦定理可知 ，选项A描述准确；由 为最大边，可得 ， 即 为锐角，选项B描述不准确； ， ，由 ， EMBED Equation.DSMT4 ，可得 ，选项C描述准确； 若 ，可得 ， 外接圆半径为 ，选项D描述准确.故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题. 【例4】（2021·全国高三其他模拟）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 . （1）求角 的大小； （2）若点 在 边上，且 ， ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【分析】 （1）利用正弦定理，进行边化角，再通过三角恒等变换，切化弦，整理可求得 ，即可求出角 ； （2）作 ，垂足为 ，设 ， .由（1）可得 ，由勾股定理及两角和的正弦公式即可求得 的值. 【详解】 （1）依题意，根据正弦定理得 ， 整理得 ，即 . 因为 ，所以 .又 ，所以 . （2）如图，作 ，垂足为 ， 则 ，所以 .设 . 因为 ， ，所以 ， ， .在 中， ， 在 中， ，所以 ， ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 类型二、解三角形与平面向量相结合 【例5】（2021·辽宁高三月考）在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且满足 ，若 能盖住的最大圆面积为 ，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 化简给定的三角等式而得角C，再由 的面积建立a，b，c的关系式结合余弦定理求出ab的最小值即可作答. 【详解】 中， ， 即 ，而 ，则 ，因 能盖住的最大圆面积为 ，即 内切圆面积为 ，其半径为r=1，由三角形面积计算知 ，即 ， 由余弦定理得 ，则 ，于是得 ，当且仅当a=b时取“=”， 显然 ，从而得 ，即 ， ，当且仅当 时取“=”，所以当 时， 的最小值为6. 【点睛】 的内切圆半