专题19 三角函数的图像与性质的“磨合”-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2019年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题19 三角函数的图像与性质的“磨合” 考纲要求: 1．能画出y＝sin x, y＝cos x, y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性． 2．理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值，图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间 内的单调性． 3.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响． 4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 基础知识回顾: 1．“五点法”作图 “五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图的一般步骤为： (1)定点：如下表所示． x－ ωx＋φ 0 π 2π y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 (2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图象． (3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的图象． 2．三角函数的图像和性质 函数 性质　 y＝sinx y＝cosx y＝tanx 定义域 {x|x≠kπ＋(k∈Z)} 图像 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴x＝kπ＋(k∈Z)； 对称中心：(kπ，0)(k∈Z)　 对称轴：x＝kπ(k∈Z)； 对称中心： 周期 2π 2π　 π 单调性 增区间 ； 减区间 增区间 减区间 增区间 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数_ 3．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率相位 初相A T＝ 　 f＝ ＝ 4．函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤如下 应用举例: 类型一、由图定式：即由根据f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象求其解析式 1.函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象的解析式为　　 A．  2x B．  2x C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据题意求得的值，得到函数的解析式，然后通过平移变换得到所求的解析式． 【详解】 由图象得，∴，∴．∵点在函数的图象上，∴，∴，∴，又， ∴，∴．将的图象向右平移个单位后，得到的图象对应的解析式为．故选D． 【点睛】 已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)五点法，由即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ； (2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求． 2.已知函数（，）的部分如图所示，将函数的图像向右平移个单位得到函数的图像，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：先根据图像确定A，T,,,再根据平移得函数的解析式 详解：由图得,因为时， 所以， 因此，选D. 点睛：已知函数的图象求解析式 (1).(2)由函数的周期求(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求. 3．已知函数 ，若对满足 ， 的 ， ，有 的最小值为 .若将其图象沿 轴向右平移 个单位，再将得到的图象各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），得到函数 的解析式为______. 【答案】 【解析】 EMBED Equation.DSMT4 ，由 ， ，且 的最小值为 ，知 ，∴ .由 ，得 ， ，将其图象沿 轴向右平移 单位，得到 ，再将所得各点的横坐标伸长到原来的两倍（纵坐标不变），所得函数的解析式为 . 类型二、函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)图象的平移变换 1．若函数 （其中 ， 图象的一个对称中心为 ， ，其相邻一条对称轴方程为 ，该对称轴处所对应的函数值为 ，为了得到 的图象，则只要将 的图象( ) A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度 【答案】B 【解析】根据已知函数 EMBED Equation.DSMT4 其中 ， 的图象过点 ， ， 可得 ， ，解得： ．再根据五点法作图可得 ，可得： ， 可得函数解析式为：