专题18 变幻莫测的三角恒等变换-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题18 变幻莫测的三角恒等变换 考纲要求: 在三角函数的解答题中，经常要解决求未知角的三角函数值，此类问题的解决方法大体上有两个，一是从角本身出发，利用三角函数关系列出方程求解，二是向已知角（即三角函数值已知）靠拢，利用已知角将所求角表示出来，再利用三角函数运算公式展开并整体代换求解，这里着力介绍第二种方法的使用和技巧. 基础知识回顾:与三角函数计算相关的公式： （1）两角和差的正余弦，正切公式： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ （2）倍半角公式： ① ② ③ （3）辅助角公式： ，其中 应用举例: 类型一、恒等变换与有条件求值问题 1、若 ， ，则 （ ）． A． B．0 C． D． 或0 【答案】A 【详解】由 ，可得 ， 即 ．因为 ，所以 ， ，即 ，于是 ，所以 ． 2．已知 ， ，且 ， ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ， ， ，可得 .又 ， ，且 ， ，所以 ， . 所以 EMBED Equation.DSMT4 . 因为 ，所以 ，所以 . 3．已知 ，且 ，则 （ ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【详解】因为 ，所以 ，又 ，所以 ，则 ，所以 . 4．已知 为第二象限角，且 ，求 的值______. 【答案】 【详解】因为 为第二象限角，且 ，所以 所以 ， 所以 5．已知 ， ， ， (1)求 和 的值；(2)求 的值． 【答案】(1) ， ，（2） 【详解】(1)由题意得( )2＝ ，即1＋ ＝ ，∴ . 又 ，∴ ＝ ，∴ ＝ . (2)∵ ， ，∴ ＝ ，于是 ). 又 .又 . 又 ＝ ， ， ( )． ∴ EMBED Equation.DSMT4 ×(－ )－ × ＝－ . 类型二、恒等变换与无条件求值问题 1. （ ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】 EMBED Equation.DSMT4 . 2． ______． 【答案】4 【详解】原式 . 3． 的值__________. 【答案】1 【详解】 . 类型三、恒等变换与三角恒等式证明 1.《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图（如图）是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为 ， ，且小正方形与大正方形面积之比为 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设大的正方形边长为 ，由小正方形与大正方形面积之比为 ，则小正方形的边长为 ， 可得： ，①， ，②，由图可得： ， ， ① ②可得 ，解得 . 2.我国著名数学家华罗庚于 世纪七十年代倡导的“ 优选法”，在生产和科学实践中得到了非常广泛的应用， 是黄金分割比的近似值．把一条线段分割为长度为 与 的两部分，使得一部分长与全长之比恰好等于另一部分长与这部分长之比，即 ，这个比值叫做黄金分割比，已经证明，以满足黄金割比的 为腰， 为底边的等腰三角形的底角为 ，据此可以计算出该等腰三角形的顶角余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】黄金分割 还可以用 表示，设底角为 的等腰三角形的顶角为 ， 则由题意可得 ，所以 ，所以 ， 类型四、恒等变换与解三角形问题 1.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则 的最大值是（ ） A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】因为 ，所以 ，由正弦定理可得 ，即 ，所以 ，因为 ，所以 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ．则 的最大值是 。 2．在 中，已知向量 ，且 ，记角 的对边依次为 .若 ，且 是锐角三角形，则 的最大值为______________. 【答案】8 【解析】由题意得：向量 ，且 ，则 ， 即 ，因为 ，所以 即 ，因为 ，由正弦定理得： ，即 ， 则 ，因为 是锐角三角形，即 且 ，所以 ，即有 ，所以有 ， 所以 的最大值为8. 3．在 中，内角 所对的边分别为 .已知 ， ， . （Ⅰ）求 和 的值； （Ⅱ）求 的值. 【答案】（Ⅰ） . = .（Ⅱ） . 【解析】（Ⅰ） 解：在 中，因为 ，故由 ，可得 .由已知及余弦定理，有 ，所以 .由正弦定理 ,得 . 所以， 的值为 ， 的值为 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）及 ，得 ，所以 ， .故 . 4．在△ 中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 ． （1）求角B； （2）若△ 为锐角三角形，且 ，求△ 面积的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】（1）由题设及正弦定理得 ，因为 ，所以 ． 由 ，可得 ，故 ． 因为 ，故 ，由 ． （