专题17 三角函数公式的正用、逆用与变用-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题17 三角函数公式的正用、逆用与变用 考纲要求: 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 3.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 基础知识回顾: 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： , (2)商数关系： . 2．三角函数的诱导公式 公式一： ， ， ，其中k∈Z. 公式二：sin(π＋ )＝ ，cos(π＋ )＝ ，tan(π＋ )＝tan . 公式三：sin(－ )＝ ，cos(－ )＝ ，tan(－ )＝－tan . 公式四：sin(π－ )＝sin ，cos(π－ )＝ ，tan(π－ )＝－tan . 注、（1）三角函数诱导公式 的本质是“奇变偶不变，符号看象限” （2）诱导公式的应用之一是求任意角的三角函数值，其一般步骤：①负角变正角，再写成2kπ＋α(0≤α<2π)；②转化为锐角． 3．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin( ± β)＝sin cos β ± cos sin β；cos( ∓β)＝cos cos β ± sin sin β；tan( ± β)＝. 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 ＝2sin cos ；cos 2 ＝cos2 －sin2 ＝2cos2 －1＝1－2sin2 ；tan 2 ＝ . 1＋sin2 ＝(sin ＋cos )2,1－sin2 ＝(sin －cos )2，sin ±cos ＝ sin. 5．辅助角公式 asinx＋bcosx＝. ，cosφ＝sin(x＋φ)，其中sinφ＝ 6.角和与差的正弦、余弦、正切公式与倍角公式的关系 应用举例: 类型一、三角函数公式的“正用” 1．（2021·渝中·重庆巴蜀中学高三）已知 ，其中 是第三象限角，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正切的二倍角公式得到 ，从而求得 ， ，再由诱导公式化简即可求得答案. 【详解】由 ，且 是第三象限角，可得 ，可得： ， ， ，因此 ．故选：A． 2．（2021·全国高三其他模拟）若 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据正切三角函数值，求得二倍角的三角函数值，由正弦的两角和公式求得结果. 【详解】 由 知， ，或 ， 则 ， 由 知， ，或 ， 则 ， ， 则 EMBED Equation.DSMT4 故选：C 3．（2021·云南民族中学高三）已知 为锐角，且 ，则 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用诱导公式及二倍角的余弦公式，将 化为 ，结合 为锐角，即可求得答案. 【详解】因为 ，所以 ， 所以 或1，又因为 为锐角，则 ，则 ，所以 ， 所以 .故选：C. 4．（2021·全国高三其他模拟） ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 利用二倍角余弦公式求 ，再由 求 即可. 【详解】由 ，得 ， ∴ ，故选：C． 5．（2021·全国高三专题练习）定义式子运算为 将函数 的图像向左平移 个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则 的最小值为__________ 【答案】 【分析】 先定义求出 的解析式，从而可得平移后的关系式 ，由偶函数的定义可得 ，化简后可得 ，进而可求得结果 【详解】 由题意可知 ，将函数 的图象向左平移n（n＞0）个单位后得到 为偶函数，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵n大于0，∴n的最小值等于 .故答案为： . 【点睛】此题考查三角函数恒等变换公式的应用，考查三角函数的性质和图像变换，解题的关键是根据新定义求出 的解析式，进而可求出变换后的解析式，再利用三角函数的性质求解，考查计算能力，属于中档题 类型二、三角函数公式的“逆用” 1．（多选题）（2021·济南市章丘区第一中学）下列选项中，值为 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】把每个选项中的式子的值算出来即可 【详解】 ，故A满足 ，故B满足 ，故C不满足 ，故D不满足故选：AB 【点睛】本题考查的是三角恒等变换，解题的关键是要熟练掌握三角函数的相关公式. 2．（多选题）（2021·广东高三月考）已知函数 ，则（ ） A． 是周期为 的周期函数 B．