专题16 导数妙解极值点偏移、双变量问题-备战2022年高考数学一轮复习一网打尽之重点难点突破

【备战2022年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 专题16 导数妙解极值点偏移、双变量问题 考纲要求: 1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次） 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。 基础知识回顾: 极值点偏移的含义 众所周知，函数 满足定义域内任意自变量 都有 ，则函数 关于直线 对称；可以理解为函数 在对称轴两侧，函数值变化快慢相同，且若 为单峰函数，则 必为 的极值点. 如二次函数 的顶点就是极值点 ，若 的两根的中点为 ，则刚好有 ，即极值点在两根的正中间，也就是极值点没有偏移. 若相等变为不等，则为极值点偏移：若单峰函数 的极值点为 ，且函数 满足定义域内 左侧的任意自变量 都有 或 ，则函数 极值点 左右侧变化快慢不同. 故单峰函数 定义域内任意不同的实数 满足 ，则 与极值点 必有确定的大小关系： 若 ，则称为极值点左偏；若 ，则称为极值点右偏.如函数 的极值点 刚好在方程 的两根中点 的左边，我们称之为极值点左偏. 以函数函数 为例，极值点为0，如果直线 与它的图像相交，交点的横坐标为 和 ，我们简单计算： .也就是说极值点刚好位于两个交点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移. 当然，更多的情况是极值点相对中点偏移，下面的图形能形象地解释这一点. 二、极值点偏移问题的一般题设形式： 1. 若函数 存在两个零点 且 ，求证： （ 为函数 的极值点）； 2. 若函数 中存在 且 满足 ，求证： （ 为函数 的极值点）； 3. 若函数 存在两个零点 且 ，令 ，求证： ； 4. 若函数 中存在 且 满足 ，令 ，求证： . 应用举例 类型一、利用对数平均不等式解决极值点偏移问题 我们熟知平均值不等式： 即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值” 等号成立的条件是 . （2） 我们还可以引入另一个平均值：对数平均值： 那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式： ， 以下简单给出证明： 不妨设 ，设 ，则原不等式变为： 【例1】已知函数 （ ），曲线 在点 处的切线与直线 垂直. （1）试比较 与 的大小，并说明理由； （2）若函数 有两个不同的零点 ，证明： . 【答案】（1） （2）见解析 试题解析：（1）依题意得 ，所以 ，又由切线方程可得 ，即 ，解得 ，此时 ， ，令 ，即 ，解得 ；令 ，即 ，解得 ，所以 的增区间为 ，减区间为 所以 ，即 ， ， .[来 （2）证明：不妨设 因为 所以化简得 ， 可得 ， .要证明 ，即证明 ， 也就是 ，因为 ，所以即证 ，即 ，令 ，则 ，即证 .令 （ ），由 故函数 在 是增函数，所以 ，即 得证.所以 . 类型二、利用对称化构造解决极值点偏移问题 【例2】已知函数 . (1)求函数 的单调区间和极值；(2)若 ，且 ，证明： . ∵ ，∴ ， 在 上单调递增，∴ ，∴ 【评注】该题的二问由易到难，层层递进，完整展现了处理极值点偏移问题的一般方法——对称化构造的全过程，直观展示如下： 例1是这样一个极值点偏移问题：对于函数 ，已知 ， ，证明 ． 再次审视解题过程，发现以下三个关键点： （1） ， 的范围 ； （2）不等式 ； （3）将 代入（2）中不等式，结合 的单调性获证结论． 下面给出第（2）问的不同解法 【解析】法一： ，易得 在 上单调递增，在 上单调递减， 时， ， ， 时， ， 函数 在 处取得极大值 ，且 ,如图所示. 由 ，不妨设 ，则必有 ， 构造函数 ，则 ， 所以 在 上单调递增， ，也即 对 恒成立.由 ，则 ，所以 ， 即 ，又因为 ，且 在 上单调递减， 所以 ，即证 法二：欲证 ，即证 ，由法一知 ，故 ，又因为 在 上单调递减，故只需证 ，又因为 ，故也即证 ，构造函数 ，则等价于证明 对 恒成立. 由 ，则 在 上单调递增，所以 ，即已证明 对 恒成立，故原不等式 亦成立. 法三：由 ，得 ，化简得 …(， 不妨设 ，由法一知， .令 ，则 ，代入(式，得 ，反解出 ，则 ，故要证： ，即证： ，又因为 ，等价于证明： …(，构造函数 ， 则 ，故 在 上单调递增， ，从而 也在 上单调递增， ，即证(式成立，也即原不等式 成立. 法四：由法三中(式，两边同时取以 为底的对数，得 ，也即 ，从而 ，令 ，则欲证： ，等价于证明： …(，构造 ，则 ， 又令 ，则 ，由于 对 恒成立，故 ， 在 上单调递增，所以