专题08 菱形存在性问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）

专题08 菱形存在性问题 1．（2021•湘潭）如图，一次函数图象与坐标轴交于点、，二次函数图象过、两点． （1）求二次函数解析式； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2021•鄂尔多斯）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求，，三点的坐标； （2）连接，直线与该抛物线交于点，与交于点，连接．当时，求线段的长； （3）点在轴上，点在直线上，点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2021•通辽）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，动点在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以，，为顶点的三角形周长最小时，求点的坐标及的周长； （3）若点是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2021•娄底）如图，在直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点． （1）求、的值； （2）点为抛物线上的动点，过作轴的垂线交直线于点． ①当时，求当点到直线的距离最大时的值； ②是否存在，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值． 5．（2021•山西模拟）综合与探究． 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为．点为对称轴右侧抛物线上的一个动点，其横坐标为，直线交轴于点，过点作，交轴于点，轴，交直线于点，交直线于点． （1）求直线的表达式及点的坐标； （2）当四边形的面积与的面积相等时，求的值； （3）试探究点在运动过程中，是否存在，使四边形是菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2021•万柏林区模拟）如图1，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，二次函数的图象过，两点，且与轴交于另一点． （1）求二次函数的表达式； （2）点是二次函数图象的一个动点，设点的横坐标为，若．求的值； （3）如图2，过点作轴交抛物线于点．点是直线上一动点，在坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2021•交城县二模）实践与探究 如图1，已知抛物线经过原点和轴上一点，抛物线顶点为，它的对称轴与轴交于点，直线经过抛物线上一点且与轴交于点，与抛物线的对称轴交于点． （1）求的值及该抛物线的解析式； （2）是抛物线上的一点，若与的面积相等，求出所有符合条件的点的坐标． （3）点是平面内任意一点，点从点出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点的运动时间为秒，是否能使以、、、四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点的运动时间的值；若不能，请说明理由． 8．（2021•齐齐哈尔三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点（点在点左侧），与轴交于点．、的长是不等式组的整数解，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式及的值； （2）轴上的点使和的值最小，则　　； （3）将抛物线向上平移，使点落在点处．当时，抛物线向上平移了 　　个单位； （4）点在在轴上，平面直角坐标系内存在点使以点、、、为顶点的四边形为菱形，请直接写出点的坐标． 9．（2021•江北区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于点、，交轴于点． （1）如图1，连接，过点作轴的平行线交直线于点，求线段的长； （2）如图1，点为第三象限内抛物线上一点，连接交于点，连接，记的面积为，的面积为，当的值最大时，求出这个最大值和点的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位，平移后的抛物线与原抛物线交于点，点为平移后的抛物线对称轴上一点，为平面内一点，是否存在以点、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，则请说明理由． 10．（2021•禅城区二模）如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线的解析式为；线段的垂直平分线交抛物线于点、，点、横坐标分别为、且满足． （1）求抛物线的解析式； （2）设点是直线上一动点，当点在什么位置上时，的周长最小？求出此时点的坐标及周长的最小值； （3）如图2，线段上的一点，过点作直线轴于，交抛物线于，且；点是直线上一个动点，点是坐标平面内一点，以点，，，为顶点的四边形是菱形，求所有满足条件的点坐标（写出其中一个点的坐标的详细求解过程，其余的点的坐标直接写出即可）． 11．（2021•九龙坡区模拟）如图1，平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点． （1）求点和点的坐标； （2）点为直线上方抛物线上的