专题07 矩形存在性问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）

专题07 矩形存在性问题 1．（2021•淄博）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接． （1）若，求抛物线对应的函数表达式； （2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标； （3）设直线与抛物线交于，两点，问是否存在点（在抛物线上），点（在抛物线的对称轴上），使得以，，，为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点，的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2021•齐齐哈尔）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，连接，，对称轴为直线，点为此抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线上、两点之间的距离是 　　； （3）点是第一象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值； （4）点在抛物线对称轴上，平面内存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点的坐标． 3．（2021•菏泽）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交轴于、两点，交轴于点． （1）求该抛物线的表达式； （2）点为第四象限内抛物线上一点，连接，过点作交轴于点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线向右平移经过点，时，得到新抛物线，点在新抛物线的对称轴上，在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 参考：若点，、，，则线段的中点的坐标为，． 4．（2021•达州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点． （1）求抛物线的解析式； （2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值； （3）为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2021•克东县二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，对称轴为的抛物线与轴交于点、，与轴负半轴交于点，，，点为此抛物线的顶点，连接、、．（1）求抛物线的解析式； （2）求证：； （3）点在第三象限的抛物线上，点到轴的距离不小于8，则的取值范围为 　　；当 　　时，有最小值 　　； （4）点在抛物线的对称轴上，平面内存在点使以点、、、为顶点的四边形为矩形，请直接写出点坐标． 6．（2021•雁塔区校级模拟）如图所示，二次函数的图象与轴的一个交点为，另一交点为，且与轴交于点． （1）求的值及该二次函数对称轴； （2）该二次函数图象上有一点（其中，，使，求点的坐标； （3）若点在直线上，点是平面上一点，是否存在点，使以点、点、点、点为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2021•渝中区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点为直线上方抛物线上的任意一点，过作轴交直线于点，过作轴交直线于点，求线段的最大值及此时点坐标； （3）将该抛物线沿着射线方向平移个单位得到新抛物线，是新抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2021•深圳模拟）抛物线经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接，过作轴，垂足为点，，分别是线段，上的动点，，不与线段，的端点重合； ①在直线变化的过程中，若直线平分四边形的面积，且到直线的距离最大，求此时直线的解析式； ②如图2，连接，在直线的左边作矩形，在点的运动过程中，若点落在轴上的同时，点恰好落在抛物线上，求出此时的长． 9．（2021•瑶海区校级三模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，点的坐标为，与轴交于点，直线经过、两点． （1）求、、的值； （2）若点为线段上的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，过作轴，交直线于点，以、为边作矩形，设矩形的周长为，求的最大值； 10．（2021•平江县二模）如图，已知抛物线与直线相交于点和，直线交轴于点，抛物线交轴于点． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点是轴上的一个动点，连接、，请问的周长是否存在最小值？若存在，请求出点的坐标，并求出周长最小值；若不存在，请说明理由； （3）设点是抛物线对称轴上一点，点在抛物线上，以点、、、为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由． 11．（2021•苏家屯区二模）如图，抛物线过点．点是抛物线的顶点，点是轴上方抛物线上的一点，连接，． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，当时，求点的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交轴于点，交线段于点，点是线段