专题04 等腰直角三角形存在性问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）

专题04 等腰直角三角形存在性问题 1．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为． （1）直接写出抛物线的解析式； （2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标； （3）如图2，是直线上一个动点，过点作轴交抛物线于点，是直线上一个动点，当为等腰直角三角形时，直接写出此时点及其对应点的坐标． 2．（2021•上海）已知抛物线经过点、． （1）求抛物线的解析式； （2）若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形． ①当与重合时，求到抛物线对称轴的距离； ②若在抛物线上，求的坐标． 3．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与坐标轴相交于、、三点，其中点坐标为，点坐标为，连接、．动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度向点做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接，设运动时间为秒． （1）求、的值． （2）在、运动的过程中，当为何值时，四边形的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段上方的抛物线上是否存在点，使是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2020•兰州）如图，二次函数的图象过点，，交轴于点．直线与抛物线相交于另一点，连接，，点是线段上的一动点，过点作交于点． （1）求二次函数的表达式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）在点的运动过程中，直线上存在一点，使得四边形为矩形，请判断此时与的数量关系，并求出点的坐标； （4）点是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点是平面内使得的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点，使得是以为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，和点，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，将抛物线先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线，若抛物线与抛物线相交于点，连接，，． ①求点的坐标； ②判断的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2021•分宜县校级模拟）如图，抛物线过，两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点的坐标，并求出的面积； （3）若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出其值；若不存在，请说明理由． 7．（2021•秦都区模拟）如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的对称轴为直线，且该抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于，两点，其中点的坐标为，且． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）若平行于轴的直线与该抛物线交于、两点（其中点在点的右侧），在轴上是否存在点，使是以为一直角边的等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2021•碑林区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于． （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，，过点的直线，点，分别为直线和抛物线上的点，试探究第一象限是否存在这样的点，，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有的点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2021•长沙模拟）如图，抛物线过，两点，点、关于抛物线的对称轴对称，过点作直线轴，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）直接写出点的坐标，并求出的面积； （3）点是抛物线上一动点，且位于第四象限，当的面积为6时，求出点的坐标； （4）若点在直线上运动，点在轴上运动，是否存在以点、、为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，请直接写出此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 10．（2021•惠东县二模）如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中的坐标为，直角顶点的坐标为，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为，连接、，求的面积； （3）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2021•渝中区模拟）如图，已知抛物线与直线相交于点和点． （1）求该抛物线的解析式； （2）设为直线上方的抛物线上一点，当的面积最大时，求点的坐标； （3）将该抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， 平移后的抛物线与原抛物线相交于点，是否存在点使得是以为腰的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（2021•杭州模拟）已知直线交轴于点，交轴于点，抛物线经过点