专题03 等腰三角形问题-备战2022年中考数学压轴题之二次函数真题模拟题分类汇编（全国通用）

专题03 等腰三角形问题 1．（2021•宿迁）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．连接，，点在抛物线上运动． （1）求抛物线的表达式； （2）如图①，若点在第四象限，点在的延长线上，当时，求点的坐标； （3）如图②，若点在第一象限，直线交于点，过点作轴的垂线交于点，当为等腰三角形时，求线段的长． 2．（2021•南充）如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点，对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，若点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的平行线交抛物线于点，连接，当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且．在轴上是否存在点，得为等腰三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2021•孝义市二模）如图，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是y轴右侧抛物线上的一个动点，过点P作直线BC的垂线，垂足为D．直线PD与x轴交于E，与y轴交于点F．点P的横坐标为m． （1）求点A，B，C的坐标及直线BC的函数关系表达式； （2）当CE平分∠OCB时，求出点F的坐标； （3）是否存在点P，使得△CFP是等腰三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 4．（2021•寻乌县模拟）已知抛物线，其顶点为． （1）以下正确结论的序号有 　　． ①抛物线的对称轴是直线； ②函数随着的增大而减小； ③抛物线的顶点始终在轴下方； ④抛物线经过定点，． （2）将抛物线向右平移个单位得到抛物线，其顶点为，两抛物线相交于点． ①若抛物线与抛物线关于轴对称，求的值； ②是否存在为等腰三角形的情形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由； ③若顶点的纵坐标与横坐标之间存在一个函数，求这个函数的关系式，并写出的取值范围；若抛物线与函数的图象在第三象限内有交点，直接写出的取值范围． 5．（2021•江西模拟）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． （1）若直线经过点，求抛物线的解析式； （2）在（1）的条件下，点，为抛物线上两点（点在点的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位和5个单位，点为抛物线上点，之间（含点，的一个动点，求点的纵坐标的取值范围； （3）若抛物线的顶点在第四象限，且为等腰三角形，求点的坐标． 6．（2021•五华区一模）如图所示，抛物线经过点，点，与轴交于点，连接，．点是线段上不与点、重合的点，过点作轴，交抛物线于点，交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）过点作，垂足为点．设点的坐标为，请用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时有最大值，最大值是多少？ （3）试探究是否存在这样的点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2021•广东模拟）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），交轴于点，顶点为，对称轴为直线，连接，． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积； （3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 8．（2021•渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴相交于，两点，与轴交于点，为抛物线顶点，连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，为直线下方抛物线上的一个动点（不与、重合），连接，，求面积的最大值及相应点的坐标； （3）如图3，连接，将直线沿射线方向平移个单位得到直线，直线与抛物线的两个交点分别为，在的左侧），在抛物线对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（2021•柳南区三模）如图，抛物线过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点，点为线段上一动点． （1）求抛物线的表达式及点坐标； （2）若是以为底角的等腰三角形，求点的坐标； （3）连接，在左侧构造等边，求当点从点运动到点的过程中，运动的路径长． 10．（2021•重庆模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，直线与轴交于点，与抛物线交于点，． （1）求该抛物线与直线的解析式； （2）若点是轴下方抛物线上一动点，连接、．求面积的最大值及此时点的坐标； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线：，新抛物线与原抛物线交于点，在直线上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2021•建华区二模）综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）． （1）求抛物线的解析式及点坐标； （2）设该抛物线的顶点为点，则　 　； （3）