必考点10 指数-【对点变式题】2021-2022学年高一数学期中期末必考题精准练（苏教版2019必修第一册）

必考点10 指数 题型一 n次方根的概念 例题1(1)16的平方根为________，－27的5次方根为________． (2)已知x7＝6，则x＝________. (3)若有意义，则实数x的取值范围是________． 【答案】(1)±4　　(2)　(3)[2，＋∞) 【解析】(1)∵(±4)2＝16， ∴16的平方根为±4.－27的5次方根为. (2)∵x7＝6，∴x＝. (3)要使有意义， 则需x－2≥0，即x≥2. 因此实数x的取值范围是[2，＋∞)． 【解题技巧提炼】 判断关于n次方根的结论应关注两点 (1)n的奇偶性决定了n次方根的个数； (2)n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号．　　 题型二 利用根式的性质化简求最值 例题1化简与求值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 【解析】(1) ＝－5. (2) ＝＝＝3. (3)∵a≤，∴1－2a≥0， ∴＝＝＝. (4)原式＝＋y－x＝|x－y|＋y－x. 当x≥y时，原式＝x－y＋y－x＝0； 当x<y时，原式＝y－x＋y－x＝2(y－x)． ∴＝ 【解题技巧提炼】 根式化简的思想和注意点 (1)根式的化简思想是将根式有理化，利用根式的性质和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)公式)，将所求代数式恰当地变形，达到化繁为简的目的． (2)化简根式时需注意： 题型三 带条件的根式的化简 例题1化简 (－3<x<3)． 【解析】原式＝＝|x－1|－|x＋3|. ∵－3<x<3，∴－4<x－1<2,0<x＋3<6. 当－4<x－1<0，即－3<x<1时，|x－1|－|x＋3|＝1－x－(x＋3)＝－2x－2； 当0≤x－1<2，即1≤x<3时，|x－1|－|x＋3|＝x－1－(x＋3)＝－4. ∴＝ 【解题技巧提炼】 1.有条件根式的化简问题，是指被开方数或被开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． 2.有条件根式的化简经常用到配方的方法．当根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开方数或被开方的表达式的正负．　　　 题型四 根式与分数指数幂的互化 例题1用根式或分数指数幂表示下列各式：a，a (a>0)，，(a>0), (a>0)． 【解析】a＝；a (a>0)＝；＝a＝a2； (a>0)＝＝a； (a>0)＝ ＝ ＝a. 【解题技巧提炼】 根式与分数指数幂互化的规律 (1)根指数分数指数的分母，被开方数(式)的指数分数指数的分子． (2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．　　 题型五 指数幂的运算 例题1计算下列各式： (1)0＋2－2×－0.010.5； (2)0.064－0＋[(－2)3] ＋16－0.75； (3) ·(a>0，b>0)． 【解析】(1)原式＝1＋×－＝1＋－＝. (2)原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＝－1＋＋＝. (3)原式＝·a·a·b·b＝a0b0＝. 【解题技巧提炼】 指数幂运算的解题通法 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． (5)运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一． 题型六 条件求值问题 例题1已知a＋a＝，求下列各式的值： (1)a＋a－1；(2)a2＋a－2. 【解析】(1)将a＋a＝两边平方， 得a＋a－1＋2＝5，即a＋a－1＝3. (2)将a＋a－1＝3两边平方，得a2＋a－2＋2＝9， 即a2＋a－2＝7. 【解题技巧提炼】 解决条件求值问题的一般方法 对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母的取值代入求值．但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式适当地变形，构造出与已知条件相同或相似的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值．利用“整体代入法”求值常用的变形公式如下(a>0，b>0)： (1)a±2ab＋b＝(a±b)2； (2)a－b＝(a＋b)(a－b)； (3)a＋b＝(a＋b)(a－ab＋b)； (4)a－b＝(a－b)(a＋ab＋b)．　 题型一 n次方根的概念 1.已知m10＝2，则m等于(　　) A.　　　　　　　　　 B．－ C. D．± 【答案】D 【解析】∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，且互为相反数．∴m＝±. 题型二 利用根式的性质化简求最值 1．计算 ＋4＝________. 【答案】29 【解析】原式＝－3＋4×|(－2)3|＝－3