必考点09 基本不等式-【对点变式题】2021-2022学年高一数学期中期末必考题精准练（苏教版2019必修第一册）

必考点09 基本不等式 题型一 对基本不等式≤的理解 例题1（多选题）给出下面四个推导过程正确的是（ ） A．∵a、b为正实数，∴＋≥2＝2； B．∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； C．∵x、y∈R，xy＜0，∴＋＝－＝－2. D．不等式，当且仅当，即时等号成立 【答案】AC 【解析】A.∵a、b为正实数，∴、为正实数，符合基本不等式的条件，故A的推导正确． B.∵a∈R，a≠0，不符合基本不等式的条件，∴＋a≥2＝4是错误的． C.由xy＜0，得、均为负数，但在推导过程中将整体＋提出负号后，、均变为正数，符合均值不等式的条件，故C正确． D．不等式，只有a>0时才成立，且等号成立的条件是a＝1. 所以选AC。 【解题技巧提炼】 1．基本不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了两个正数的和与积之间的关系． 2．对基本不等式的准确掌握要抓住以下两个方面：(1)定理成立的条件是a、b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，≤的等号成立，即a＝b⇒＝；仅当a＝b时，≥的等号成立，即＝⇒a＝b. 题型二 利用基本不等式比较大小 例题1若0<a<1,0<b<1，且a≠b，试找出a＋b，a2＋b2，2，2ab中的最大者． 【解析】∵0<a<1,0<b<1，且a≠b，∴a＋b>2，a2＋b2>2ab， ∴四个数中最大的应从a＋b，a2＋b2中选择． 而a2＋b2－(a＋b)＝a(a－1)＋b(b－1)， ∵0<a<1,0<b<1，∴a(a－1)<0，b(b－1)<0， ∴a2＋b2－(a＋b)<0，即a2＋b2<a＋b，∴a＋b最大． 例题2已知，求证． 【证明】（当且仅当时，取“=”号）， （当且仅当时，取“=”号）， （当且仅当时，取“=”号）． 以上三式相加，得， 即（当且仅当时，取“=”号）． 【解题技巧提炼】 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型三 利用基本不等式求最值 例题1已知m，n＞0，且m＋n＝16，求mn的最大值； 【解析】∵m，n＞0且m＋n＝16，∴由基本不等式可得mn≤＝＝64， 当且仅当m＝n＝8时，mn取得最大值64. 例题2已知x＞3，求x＋的最小值； 【解析】∵x＞3，∴x－3＞0，＞0， 于是x＋＝x－3＋＋3≥2 ＋3＝7， 当且仅当x－3＝即x＝5时，x＋取得最小值7. 【解题技巧提炼】 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 (1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 题型四 利用基本不等式解决实际问题 例题1某汽车公司购买了4辆大客车，每辆200 万元，用于长途客运，预计每辆车每年收入约100 万元，每辆车第一年各种费用约为16 万元，且从第二年开始每年比上一年所需费用要增加16 万元． (1)写出4辆车运营的总利润y(万元)与运营年数x(x∈N*)的函数关系式． (2)这4辆车运营多少年，可使年平均运营利润最大？ 【解析】 (1)依题意，每辆车x年总收入为100x万元， 总支出为200＋16×(1＋2＋…＋x)＝200＋x(x＋1)·16. ∴y＝4＝16(－2x2＋23x－50)． (2)年平均利润为＝16＝16. 又x∈N*，∴x＋≥2 ＝10， 当且仅当x＝5时，等号成立，此时≤16×(23－20)＝48. ∴运营5年可使年平均运营利润最大，最大利润为48 万元． 【解题技巧提炼】 在应用基本不等式解决实际问题时，应注意如下的思路和方法： (1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数； (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)根据实际背景写出答案． 题型一 对基本不等式≤的理解 1.下列不等式的推导过程正确的是________． ①若x＞1，则x＋≥2＝2. ②若x＜0，则x＋＝－＝－4. ③若a，b∈R，则＋≥2＝2. 【答案】② 【解析】①中忽视了基本不等式等号成立的条件，当x＝时即x＝1时，x＋