必考点06 全称量词命题与存在量词命题-【对点变式题】2021-2022学年高一数学期中期末必考题精准练（苏教版2019必修第一册）

必考点06 全称量词命题与存在量词命题 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 例题1判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题： (1)自然数的平方大于或等于零； (2)有的一次函数图象经过原点； (3)所有的二次函数的图象的开口都向上. 【解析】(1)全称量词命题.表示为∀n∈N，n2≥0. (2)存在量词命题. 表示为∃一次函数，它的图象过原点. (3)全称量词命题.表示为∀二次函数，它的图象的开口都向上. 【解题技巧提炼】 全称量词命题或存在量词命题的判断 注意：全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略． 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真假的判断 例题1判断下列命题的真假． (1)任意两个面积相等的三角形一定相似； (2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P； (4)∀x∈N，x2>0. 【解析】 (1)因为面积相等的三角形不一定相似．故它是假命题． (2)因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，故它是假命题． (3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题． (4)因为0∈N,02＝0，所以命题“∀x∈N，x2>0”是假命题． 【解题技巧提炼】 全称量词命题与存在量词命题的真假判定的技巧 (1)全称量词命题的真假判定 要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出集合M中的一个x，使得p(x)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”)． (2)存在量词命题的真假判定 要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x，使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题就是假命题．　　 题型三 由全称量词命题与存在量词命题的真假求参数的范围 例题1已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B≠∅，若命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题，求m的取值范围。 【解析】由于命题p：“∀x∈B，x∈A”是真命题， 所以B⊆A，B≠∅，所以解得2≤m≤3. 【解题技巧提炼】 根据含量词命题的真假求参数的取值范围问题，一般先把命题的真假问题转化为集合间的关系，再转化为关于参数的不等式(组)求参数范围. 题型四 全称量词命题与存在量词命题的否定 例题1写出下列全称量词命题的否定： (1)每一个四边形的四个顶点共圆； (2)所有自然数的平方都是正数； (3)任何实数x都是方程5x－12＝0的根； (4)对任意实数x，x2＋1≥0. 【解析】(1) p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆. (2) p：有些自然数的平方不是正数. (3) p：存在实数x不是方程5x－12＝0的根. (4) p：存在实数x，使得x2＋1<0. 例题2写出下列存在量词命题的否定，并判断其否定的真假. (1)p：∃x>1，使x2－2x－3＝0； (2)p：有些素数是奇数； (3)p：有些平行四边形不是矩形. 【解析】(1) p：∀x>1，x2－2x－3≠0. p假命题。 (2) p：所有的素数都不是奇数. p假命题。 (3) p：所有的平行四边形都是矩形. p假命题。 【解题技巧提炼】 （1）对全称量词命题进行否定要做到“两变”：一变量词，即把全称量词变为存在量词；二否定命题。 （2）全称量词命题的否定是存在量词命题， （3）对省略全称量词的全称量词命题可补上量词后进行否定. 题型五 根据命题求参数范围 例题1已知命题p：∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立．求实数m的取值范围． 【解析】令y＝x2＋4x－1，x∈R，则y＝(x＋2)2－5≥－5， 因为∀x∈R，不等式x2＋4x－1>m恒成立，所以只要m<－5即可． 所以所求m的取值范围是{m|m<－5}． 【解题技巧提炼】 求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值(或最小值)，即a>ymax(或a<ymin)． (2)对于存在量词命题“∃x∈M，a>y(或a<y)”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值(或最大值)，即a>ymin(或a<ymax)． 题型一 全称量词命题与存在量词命题的判断 1.下列命题中全称量词命题的个数为(　　) ①平行四边形的对角线互相平分； ②梯形有两边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】①②是全称量词命题，③是存在量词命题． 题型二 全称量词命题与存在量词命题的真