专题13导数与极限第二辑-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题13导数与极限第二辑 1．【2018年广东预赛】设函数. ⑴求在区间（n为正整数）上的最大值； ⑵令（n、k为正整数）.求证：. 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 ⑴因为，所以当时，，即上是增函数，故上的最大值为. ⑵由⑴知.因为， 所以. 又容易证明. 所以 所以. 即. 2．【2018年甘肃预赛】设函数）． （1）讨论的单调性； （2）如果有两个极值点，我们记过点的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析（2）不存在 【解析】 （1）f(x)的定义域为， 。 令，其判别式。 1.当时，，故f(x)在上单调递增。 2.当时，的两根为 。 当时，；当时，；当时，，故f(x)分别在上单调递增，在上单调递减。 （2）由1知，，因为 。 所以 又由1知，，于是 。 若存在a使得k=2-a，则，即，亦即 ① 再由1知，函数上单调递增，而，所以 。 这与①式矛盾。 故不存在a，使得k=2-a. 3．【2018年天津预赛】设，正实数数列满足，且当.求证： ⑴当时，； ⑵. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 ⑴我们证明，当x＞0时，. 令，则有. 由单调递增，从而. 由可知单调递增，. 最后，由可知单调递增， 这样我们就证明了. 利用这一点，立即得到. ⑵我们先对n用数学归纳法证明. 当n=1时，，结论成立. 假设当n=m-1时有（其中）. 如果，则. 注意 . 可知，与归纳假设矛盾.因此. 这样，当时有， 令k从1到n求和，就得到. 4．【2018年河北预赛】判断曲线与曲线的公切线的条数，并说明理由. 【答案】曲线与曲线有两条公切线. 【解析】 曲线与曲线有两条公切线. 理由如下：设两曲线的公切线为l，与曲线切于点，与曲线切于点，则直线l的方程既可写为，即，又可写为，即. 因为直线l为公切线，所以有 消元整理得，所以方程根的个数即为两曲线的公切线条数. 设. 当时，为增函数； 当时，为减函数. 另外当时，，所以的根为. 所以当时，单调递增；当时，单调递减.而，又函数在R上连续，所以函数有两个零点，分别位于区间和区间内. 所以方程有两个不同的根，即两曲线有两条公切线. 5．【2018年四川预赛】设函数. （1）若在其定义域内为单调递增函数，求实数的取值范围； （2）设，且，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围； （3）求证：对任意的正整数，都有成立. 【答案】（1）（2）（3）见解析 【解析】 （1）函数的定义域为． 由， 要使在其定义域内为单调递增函数，只须，即在内恒成立． 于是，注意到，等号在时成立，即时有最大值1．从而． （2）解法一：注意到上是减函数，所以，即． 当时，由，得，故，不合题意． 当时，由（1）知上是增函数，． 又上是减函数，所以原命题等价于，由，解得． 综上，的取值范围是． 解法二：原命题等价于上有解，设 ． 因为， 故是增函数，所以，解得． 所以的取值范围是． （3）令，则由（1）知内为单调减函数． 由于，故当时，有，即． 因此，， 即，故． 于是 ． 6．【2018年福建预赛】已知． （1）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）若是函数的两个零点，求证：． 【答案】（1）（2）见解析 【解析】 （1）设，则． 当时，不等式恒成立时，恒成立． 因为， 所以当时，在区间上为增函数． 另由，知． ①若，则． 此时，在区间内有唯一零点，设为．则时，． 所以在区间上为减函数，． 因此不符合要求． ②若，则时，． 此时上为增函数．所以时，．因此符合要求． 由①、②，得的取值范围为． （2）因为是函数的两个零点，所以， ． 不妨设，易知，联立上述两式，消得 ． 又由（1）知，对，当时，恒成立． 所以当时，恒成立． 所以当时，． 故． 当时，同理可得，．所以． 7．【2017年河北预赛】已知函数,若存在,使得成立,求的最大值. 【答案】6 【解析】,时,单调递减; 时,单调递增, 故 由于,，故， 由于5.84故. 由于时,,故存在,使得,取,则, 故的最大值为6. 8．【2017年吉林预赛】已知函数. (1)求证：存在一个零点属于. (2)若,且对任意的恒成立,求的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2)3. 【解析】(1)令,则, 故在上单调递增, 而, 所以存在一个零点. (2)唯一的零点显然满足, 且当时,;当时,. 当时,等价于. 设,则从而与同号, 故当时,;当时,. 所以在上单调递减,在上单调递增, 故 由题意, 又,而,故的最大值是3. 9．【2017年福建预赛】已知. (1)证明：当时,求的最大值; (2)判断函数