专题59初等数论第二缉-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题59初等数论第二缉 1．【2016年山东预赛】使为素数的正整数数对（a，b）=________. 【答案】 【解析】 令， . 设.则. 因为， 所以，. 又p为素数，则，且或p. 若，则. 因为p为素数，所以， . 故，此时，不符合题意. 若，则 从而，. 综上，. 2．【2016年山西预赛】若12个互不相同的正整数之和为2016，则这些正整数的最大公约数的最大值为__________. 【答案】24 【解析】 设最大公约数为d，12个数分别为. 记.于是，. 欲使最大，应使取最小． 由于互异，则 . 注意到，，且78不为2016的因数. 又，其大于78的最小正因数为. 故，且可以取到，只需令. 3．【2016年江西预赛】若将数1,2,…,9分别填入3×3方格表的九个格中,使得每行三个数的和、每列三个数的和均为素数,则填法为______. 【答案】 1 7 9 2 6 3 8 4 5 （答案不唯一） 【解析】 1,2,…,9中三个数的和为素数7，11，13，17，19，23，先排四个偶数 2 6 8 4 ，再填奇数，调整，可得一解， 1 7 9 2 6 3 8 4 5 4．【2016年江西预赛】把1至n(n>1)这n个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数列中每相邻两项的和为平方数.则n的最小值为______. 【答案】15 【解析】 例如,排出的一个数列为8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9记这n个连续正整数的集合为M={1,2,…,n}. 由于n>1,则集合M中必有2,而2+7=9,于是,n≥7. 当n=7时,从1至7这七个数可以搭配成满足条件的三个数段: (1,3,6),(2,7),(4,5), 但它们不能连接成一个7项的数列,故应增加后续的数,增加8可使得第一段扩充成(8,1,3,6),增加9可使得第二段扩充成(2,7,9),但新的三段也不能连接,还需增加新数,即n≥10. 而之前的数若与8、9、10邻接,只有8+1=9,9+7=16,10+6=16这三段扩充为 (8,1,3,6,10),(2,7,9),(4,5),仍旧不能连接,应当借助新的平方数25,从1 至10这十个数能搭配成和为25的最小数是15,则n≥15. 当M={1,2,…,15}时,可排出上面的情形8,1,15,10,6,3,13,12,4,5,11,14,2,7,9. 5．【2016年湖北预赛】已知素数p、q满足．则________. 【答案】14 【解析】 由 . 易知，为大于1的奇数，也为大于1的奇数． 则 . 6．【2015年全国】对四位数，若，则称类数；若，则称类数.用分别表示类数与类数的个数.则的值为______. 【答案】285 【解析】 记类数、类数的全体分别为，再记个位数为零的类数全体为，个位数不为零的类数全体为. 对任一四位数，将其对应到四位数. 注意到，. 则. 反之，每个唯一对应于中的元素. 因此，建立了之间的一一对应. 故. 下面计算. 对任意四位数可取0，1，…，9，对其中每个，由，知分别有种取法. 故. 因此，. 故答案为：285 7．【2015年上海预赛】使得n2的各位数字之和为34的最小正整数n是______. 【答案】167 【解析】 注意到n2至少为五位数,所以n至少为三位数,计算可得满足,因此最小正整数n是167. 8．【2015年新疆预赛】的个位数为________. 【答案】4 【解析】 用表示一个自然数n的个位数. 则 . 从而，的个位数为4. 9．【2015年天津预赛】设.则除以100的余数为__________. 【答案】6 【解析】 由 . 由，知当正整数时， 为100的倍数. 从而，除以100与除以100有相同的余数，均为36，知除以100的余数为6. 10．【2015年四川预赛】对任意正整数n，定义函数，且当时，其中，为不同的素数。若记为12的全部不同正因数的集合，则________。 【答案】0 【解析】 由，知. 则 11．【2015年北京预赛】已知为从小到大排列的前2015个素数，记.则关于的不定方程的正整数解集为_________. 【答案】 【解析】 由两两之差为3的倍数，知 . ① 由已知得为3的倍数. 再根据式①，若题中不定方程成立，则均为3的倍数，即原方程左边有因子，但不被整除，矛盾. 从而，原方程的正整数解集为. 12．【2015年陕西预赛】若正整数满足，则的值为______. 【答案】144 【解析】 由， ， 知 从而，. 13．【2015年山西预赛】设，其中，.则________.（表示不超过实数x的