专题57概率统计第二缉（解析版）-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021) 专题57概率统计第二缉 1．【2017年内蒙古预赛】在这9个自然数中,任取3个数.记为这3个数中两数相邻的组数(例如:若取3个数为,则有两组相邻的数为1,2和2,3此时的值是2),则的数学期望为 . 【答案】 【解析】提示：做出如下分布列 0 1 2 所以. 2．【2016年安徽预赛】等可能地随机产生一个正整数.则x在二进制下的各位数字之和不超过8的概率为 ________. 【答案】 【解析】 设x∈{1，2，…，2 016}的二进制表示为,即. 特别地，2016的二进制表示为. 接下来考虑满足的x的个数，其充分必要条件为 ,且. 如此x的个数为. 从而，二进制下的各位数字之和不超过8的x的个数为． 因此，所求概率. 3．【2016年全国】袋子A中装有两张10元纸币和三张1元纸币，袋子B中装有四张5元纸币和三张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币．则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 ________. 【答案】 【解析】 一种取法符合要求，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而，.故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为. 又此时，即从B中取走的两张纸币不能均为1元纸币，相应有种取法． 因此，所求的概率为. 4．【2016年新疆预赛】在一个圆上随机取三点，则以此三点为顶点的三角形是锐角三角形的概率为______. 【答案】 【解析】 设是半径为1的圆的任一内接三角形，且所对的弧长分别为.则所对的弧长为. 对于，有 该不等式组所表示的区域面积为. 若为锐角三角形，则 该不等式组所表示的区域面积为. 从而，所求的概率为. 5．【2016年江苏预赛】若小张每天的睡眠时间在小时之间随机均匀分布，则小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时的概率为__________． 【答案】 【解析】 设小张连续两天睡眠的时间分别为x、y小时． 将可能出现的事件记作，其对应坐标平面中正方形ABCD的边及其内的点． 小张连续两天平均睡眠时间不少于7小时，即对应五边形EBCDF边及其内的点，如图． 因此，所求事件的概率为． 6．【2016年湖南预赛】在一个均有小正方体的六个面中，三个面上标数字0，两个面上标数字1，一个面上标数字2. 将该小正方体抛掷两次，则朝上的数之积的数学期望为______. 【答案】. 【解析】 解：一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2． 将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4， 7．【2016年湖北预赛】袋子中有五个白球、四个红球和三个黄球，从中任意取出四个球，各种颜色的球均有的概率_______. 【答案】 【解析】 取出的球有三种可能：两白一红一黄，一白两红一黄，一白一红两黄.故所求概率为 . 8．【2016年河南预赛】甲乙两人各自独立地抛掷一枚质地均匀的硬币，甲抛10次，乙抛11次。则乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多的概率为___________。 【答案】 【解析】 设“甲乙各自独立抛10次时，乙出现正面朝上的次数比甲出现正面朝上的次数多”为事件.则所求事件的概率为. 9．【2016高中数学联赛（第01试）】袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币.现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 . 【答案】 【解析】符合要求的取法，等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b，从而a<b≤5+5=10.故只能从A中取走两张1元纸币，相应的取法数为.又此时b>a=2，即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有种取法. 因此，所求的概率为. 10．【2015年全国】在正方体中随机取三条棱，它们两两异面的概率为______. 【答案】 【解析】 设正方体为，共12条棱，从中任意取出三条棱的方法有种. 下面考虑使三条棱两两异面的取法数. 由于正方体棱共确定三个互不平行的方向（即的方向），具有相同方向的四条棱两两共面，因此，取出的三条棱必属于三个不同的方向.可先取定方向的棱，这有四种取法. 不妨设取的棱为.则方向只能取棱，共两种可能.当方向取棱时，方向取棱分别只能为. 综上，三条棱两两异面的取法数为8. 故所求概率为. 11．【2015年上海预赛】投掷两次色子 ，设第一次、第二次出 现的点数分别 a 、 b． 则使得关于x 的二次方程有两个小于-1的不相等实要的概率为________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 由已知得 注意到，. 由式②得. 进而，由式①得. 当