第04讲 数学归纳法-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第4章 数列 第04讲 数学归纳法 课程标准 重难点 1.了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。 2.会证明简单的与正整数有关的命题。 1.学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。 2.运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。 知识点一　数学归纳法步骤 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当n＝k＋1时命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法． 考法01 数学归纳法证明 用数学归纳法证明： ＋…＋ ＝ (n∈N*). 【证明】(1)当n＝1时，左边＝ ， 右边＝ ＝ .左边＝右边，所以等式成立. (2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有 ＋…＋ ＝ ， 则当n＝k＋1时， ＋…＋ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ ＝ ＝ . 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由(1)(2)可知，对于一切n∈N*等式都成立. 【跟踪训练】 1.用数学归纳法证明n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2(n∈N*)时，若记f(n)＝n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)，则f(k＋1)－f(k)等于(　　) A．3k－1 B．3k＋1 C．8k D．9k 【答案】C 【解析】因为f(k)＝k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)， f(k＋1)＝(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)，则f(k＋1)－f(k)＝3k－1＋3k＋3k＋1－k＝8k. 【方法总结】 用数学归纳法证明等式的注意点 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少. (2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法. 考法02 数学归纳法的应用 已知数列{an}，an≥0，a1＝0， ＋an＋1－1＝ ，求证：当n∈N*时，an<an＋1. 【证明】(1)当n＝1时，因为a2是方程 ＋a2－1＝0的正根，所以a2＝ ，即a1<a2成立. (2)假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，0≤ak<ak＋1， 所以 － ＝( ＋ －1)－( ＋ak＋1－1) ＝(ak＋2－ak＋1)(ak＋2＋ak＋1＋1)>0， 又ak＋2＋ak＋1＋1>0， 所以ak＋1<ak＋2，即当n＝k＋1时，an<an＋1也成立. 综上，可知an<an＋1对任意n∈N*都成立. 【跟踪训练】 1. 设数列{an}的前n项和为Sn，并且满足2Sn＝ ＋n，an>0(n∈N*).猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明. 【解析】分别令n＝1，2，3，得 ∵an>0，∴a1＝1，a2＝2，a3＝3， 猜想：an＝n. 由2Sn＝ ＋n，① 可知，当n≥2时，2Sn－1＝ ＋(n－1)，② ①－②，得2an＝ － ＋1，即 ＝2an＋ －1. (ⅰ)当n＝2时， ＝2a2＋12－1， ∵a2>0，∴a2＝2. (ⅱ)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，ak＝k，那么当n＝k＋1时， ＝2ak＋1＋ －1＝2ak＋1＋k2－1， 即[ak＋1－(k＋1)][ak＋1＋(k－1)]＝0， ∵ak＋1>0，k≥2，∴ak＋1＋(k－1)>0， ∴ak＋1＝k＋1，即当n＝k＋1时也成立， ∴an＝n(n≥2)，显然当n＝1时，也成立， 故对于一切n∈N*，均有an＝n. 【方法总结】 用数学归纳法证明不等式的注意点 (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法. (2)用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝k成立，推证n＝k＋1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法、构造函数法等证明方法. 题组A 基础过关练 1．用数学归纳法证明不等式 的过程中，由 递推到 时，不等式的左边（ ） A．增加了一项 B．增加了两项 ， C．增加了一项 ，又减少了一项 D．增加了两项 ， ，又减少了一项 【答案】D 【解析】由题意，当 时，左边为 ， 当 时， ， 两式比较，可得从 递推到 时，不等式的左边增加了两项 ， ，又减少了一项 .故选：D. 2．用数学归纳法证明 ，在验证 时，左边的代数