第01讲 数列-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第一册）

第4章 数列 第01讲 数列 课程标准 重难点 1. 掌握数列的定义 2.明确通项与前n项和的关系 3.了解数列的单调性与最值 1.根据前n项和求通项公式 2.观察得到数列的通项公式 知识点一　数列 1．数列的概念 (1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项． (2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数an＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值． (3)数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法． 2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 an＋1＞an 其中 n∈N* 递减数列 an＋1＜an 常数列 an＋1＝an 3．数列的通项公式 (1)通项公式：如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子an＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 4.数列通项公式的注意点 (1)并不是所有的数列都有通项公式； (2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一； (3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的． (2)递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代入求出an ,都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an 知识点二　an与Sn关系 (1)仅含有Sn的递推数列或既含有Sn又含有an的递推数列，一般利用公式Sn－Sn－1＝an(n≥2)实施消元法，将递推关系转化为仅含an的关系式或仅含Sn的关系式，即“二者消元留一象”． (2)究竟消去an留Sn好，还是消去Sn留an好？取决于消元后的代数式经过恒等变形后能否得到简单可求的数列关系，如等差数列关系或等比数列关系，若消去an留Sn可以得到简单可求的数列关系，那么就应当消去an留Sn，否则就尝试消去Sn留an，即“何知去留谁更好，变形易把关系找”． (3)值得一提的是：数列通项公式an求出后，还需要验证数列首项a1是否也满足通项公式，即“通项求出莫疏忽，验证首项满足否”，这一步学生容易忘记，切记！ 考法01 求数列通项公式 数列－ ， ，－ ， ，…的一个通项公式an＝________. 【答案】(－1)n 【解析】这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正所以它的一个通项公式为an＝(－1)n 【跟踪训练】 数列 ， ， ， ，…的一个通项公式an＝________. 【答案】 【解析】因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即 － ＝4，所以 ＝3＋(n－1)×4＝4n－1，所以an＝ . 【方法总结】 由数列前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法 观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式． (2)具体策略 ①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征，如递增时可考虑关于n为一次递增或以2n,3n等形式递增； ③拆项后的特征； ④各项的符号特征和绝对值的特征； ⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)n或(－1)n＋1，n∈N*来处理． 考法02 an与Sn关系 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋2n＋1(n∈N*)，则an＝________. (2)已知数列{an}的前n项和Sn＝ an＋ ，则{an}的通项公式an＝________. (3)已知数列{an}中，a1＝1，Sn为数列{an}的前n项和，且当n≥2时，有 ＝1成立，则S2 019＝________. 【答案】(1) 　(2) 　(3) 【解析】 (1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1；当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1.因此an＝ (2)当n＝1时，a1＝S1＝ a1＋ ，所以a1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ an－ an－1，所以 ＝－ ，所以数列{