专题05 新定义压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编（常州专用）

专题05 新定义压轴题 1．（2021•常州）在平面直角坐标系中，对于、两点，若在轴上存在点，使得，且，则称、两点互相关联，把其中一个点叫做另一个点的关联点．已知点、，点在一次函数的图象上． （1）①如图，在点、、中，点的关联点是 　 　（填“”、“ ”或“” ； ②若在线段上存在点的关联点，则点的坐标是 　 　； （2）若在线段上存在点的关联点，求实数的取值范围； （3）分别以点、为圆心，1为半径作、．若对上的任意一点，在上总存在点，使得、两点互相关联，请直接写出点的坐标． 2．（2020•常州）如图1，与直线相离，过圆心作直线的垂线，垂足为，且交于、两点在、之间）．我们把点称为关于直线的“远点“，把的值称为关于直线的“特征数”． （1）如图2，在平面直角坐标系中，点的坐标为．半径为1的与两坐标轴交于点、、、． ①过点画垂直于轴的直线，则关于直线的“远点”是点　 　（填“”、“ ”、“ ”或“” ，关于直线的“特征数”为　 　； ②若直线的函数表达式为．求关于直线的“特征数”； （2）在平面直角坐标系中，直线经过点，点是坐标平面内一点，以为圆心，为半径作．若与直线相离，点是关于直线的“远点”．且关于直线的“特征数”是，求直线的函数表达式． 3．（2019•常州）已知平面图形，点、是上任意两点，我们把线段的长度的最大值称为平面图形的“宽距”．例如，正方形的宽距等于它的对角线的长度． （1）写出下列图形的宽距： ①半径为1的圆：　 　； ②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是正方形的三条边的“窗户形“：　 　； （2）如图2，在平面直角坐标系中，已知点、，是坐标平面内的点，连接、、所形成的图形为，记的宽距为． ①若，用直尺和圆规画出点所在的区域并求它的面积（所在区域用阴影表示）； ②若点在上运动，的半径为1，圆心在过点且与轴垂直的直线上．对于上任意点，都有，直接写出圆心的横坐标的取值范围． 4．（2017•常州）如图1，在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形． （1）①在“平行四边形、矩形、菱形”中，　 　一定是等角线四边形（填写图形名称）； ②若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还要满足　 　时，四边形是正方形． （2）如图2，已知中，，，，为平面内一点． ①若四边形是等角线四边形，且，则四边形的面积是　 　； ②设点是以为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形是等角线四边形，写出四边形面积的最大值，并说明理由． 5．（2021•杭州模拟）定义：有一个内角等于与其相邻的两个内角之差的四边形称为幸福四边形． （1）已知，，，请直接写出一个的值　 　，使四边形为幸福四边形； （2）如图1，中，、分别是边，上的点，．求证：四边形为幸福四边形； （3）在（2）的条件下，如图2，过，，三点作，与边交于另一点，与边交于点，且． ①求证：是的直径； ②连接，若，，，求的长和幸福四边形的周长． 6．（2021•天宁区校级一模）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”， ，，求的度数； （2）如图①，在中，，，，点是延长线上一点．若是“准互余三角形”，求的长； （3）如图②，在四边形中，，是对角线，，，，，且是“准互余三角形”，求的长． 7．（2021•常州一模）在平面直角坐标系中，的半径是，，为外两点，．给出如下定义：平移线段，使平移后的线段成为的弦（点，分别为点，的对应点），线段长度的最小值成为线段到的“优距离”． （1）如图1，中的弦、是由线段平移而得，这两条弦的位置关系是 　 　；在点，，，中，连接点与点 　 　的线段长度等于线段到的“优距离”； （2）若点，，线段的长度是线段到的“优距离”，则点的坐标为 　　 ； （3）如图2，若，是直线上两个动点，记线段到的“优距离”为，则的最小值是 　 　；请你在图2中画出取得最小值时的示意图，并标记相应的字母． 8．（2021•金华模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“好点”． （1）如图2，点是中边上的“好点”，且，，，则　 　； （2）中，，，，点是边上的“好点”，求线段的长； （3）如图3，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．若点是中边上的“好点”． ①求证：； ②若，的半径为，且，求的