专题04 二次函数压轴题-备战2022年中考数学满分真题模拟题分类汇编（常州专用）

专题04 二次函数压轴题 1．（2021•常州）如图，在平面直角坐标系 中，正比例函数 和二次函数 的图象都经过点 和点 ，过点 作 的垂线交 轴于点 ． 是线段 上一点（点 与点 、 、 不重合）， 是射线 上一点，且 ，连接 ，过点 作 轴的垂线交抛物线于点 ，以 、 为邻边作 ． （1）填空： 　 　， 　 　； （2）设点 的横坐标是 ，连接 ．若 ，求 的值； （3）过点 作 的垂线交线段 于点 若 ，求 的长． 【答案】（1） ，1；（2） ；（3） ． 【详解】（1） 正比例函数 经过 ， ， ， 二次函数 的图象经过点 ， ， ， （2）如图1中，过点 作 于 ，连接 ． 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点 的纵坐标为 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 或 （舍弃）． 满足条件的 的值为 ． （3）如图2中，因为点 在线段 上， ，所以 ，观察图象可知，点 只能在第一象限， 设 交 于 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， 整理得 ， 解得 或 不合题意舍弃）， ． 2．（2020•常州）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ，抛物线过点 ，且顶点为 ，连接 、 、 、 ． （1）填空： 　 　； （2）点 是抛物线上一点，点 的横坐标大于1，直线 交直线 于点 ．若 ，求点 的坐标； （3）点 在直线 上，点 关于直线 对称的点为 ，点 关于直线 对称的点为 ，连接 ．当点 在 轴上时，直接写出 的长． 【答案】（1） ；（2） 或 ， ；（3） 【详解】（1） 抛物线 的图象过点 ， ， ， 故答案为： ； （2） ， 抛物线解析式为 抛物线 的图象与 轴交于点 ，过点 作 轴的平行线交抛物线于另一点 ， 点 ， ， （舍去）， ， 点 ， ， 顶点 坐标 ， 如图1，当点 在点 上方时，过点 作 于 ，设 与 轴交于点 ， 点 ，点 ，点 ， ， 点 ， ， ， ， ， ， 点 ，点 ，点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， 点 与点 重合， 点 是直线 与抛物线的交点， ， ， ， 点 ； 当点 在点 下方上，过点 作 于 ，在线段 的延长线上截取 ，连接 交抛物线于点 ， ， ， ， ， ， ， 点 ，点 ， 直线 解析式为： ， 点 ， ， 直线 解析式为： ， EMBED Equation.DSMT4 ， 解得 ， 点 坐标为 ， ， ， 点 ， ， 直线 解析式为： ， 联立方程组 ， 解得： 或 ， 点 ， ； 综上所述：点 的坐标为 或 ， ； （3）如图，设直线 与 的交点为 ，作 于 ，过点 作 轴，过点 作 ，连接 ， ， 点 ，点 ， 直线 解析式为： ， EMBED Equation.DSMT4 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 点 坐标为 ， ， 点 坐标为 ， ， ， ， ， ， 点 关于直线 对称的点为 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 点 的横坐标为 ， 点 ， ， ， ， 点 关于直线 对称的点为 ， ， ， ， 点 ， ． 3．（2019•常州）如图，二次函数 的图象与 轴交于点 、 ，与 轴交于点 ，点 的坐标为 ，点 为 的中点，点 在抛物线上． （1） 　 　； （2）若点 在第一象限，过点 作 轴，垂足为 ， 与 、 分别交于点 、 ．是否存在这样的点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点 的横坐标小于3，过点 作 ，垂足为 ，直线 与 轴交于点 ，且 ，求点 的坐标． 【答案】（1）2．（2） ， ；（3） 或 ， ． 【详解】（1） 二次函数 的图象与 轴交于点 解得： （2）存在满足条件呢的点 ，使得 ． 二次函数解析式为 当 时 ， 当 时， 解得： ， ， 直线 的解析式为 点 为 的中点， 直线 的解析式为 ， 设 ， ，则 ， ， ， ， 解得： ， （舍去） ， 的坐标为 ， ，使得 ． （3）过点 作 轴于 ，交直线 于 ， ， 于点 ， 轴于点 ，即 在 中， 在 中， ， ， 设直线 与抛物线交于点 ，解得： （即点 横坐标）， 点 横坐标为 设 ， ，则 ， ①若 ，则点 在直线 上方，如图2， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 解得： ， （舍去） ②若 ，则点 在 轴上方、直线 下方，如图3， 此时， ，即 不成立． ③若 ，则点 在 轴下方，如图4， ， EMBED Equation.DSMT4 ，即 解得： ， （舍去）