对点练67 双曲线的几何性质-2022新高考数学(A)高频考点突破练

对点练67　双曲线的几何性质 1．B　由题意得＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B. 2．B　∵双曲线x2＋my2＝1的标准方程为x2－＝1，虚轴长是实轴长的两倍，∴2 ＝2×2， 解得m＝－，故选B. 3．A　双曲线c：－＝1的右焦点为F(，0)， 渐近线方程为y＝±x，不妨设P在第一象限， 由|PO|＝|PF|可得tan∠POF＝，P， ∴△PFO的面积为××＝，故选A. 4．B　双曲线c：－y2＝1的渐近线方程为：y＝±x，渐近线的夹角为60°， 不妨设过F(2，0)的直线为y＝(x－2)， 则解得M(3，)， 解得N， 则|MN|＝ ＝3，故选B. 5．AB　由题意得b＝1，＝，所以＝， 所以a2＝2，所以双曲线M的方程为－y2＝1. 由可得(1－2k2)x2－4kx－4＝0. Δ＝16k2＋16(1－2k2)＝0，且1－2k2≠0，解得k＝±1， 所以直线l的方程为y＝±x＋1. 6．BC　由题意可得e＝＝，可设c＝2t，a＝t，t＞0， 则b＝＝t，A(t，0)， 圆A的圆心为(t，0)，半径r为t， 双曲线的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x， 圆心A到渐近线的距离为d＝＝t， 弦长|MN|＝2＝2 ＝t＝b， 可得△MNA为等边三角形，即有∠MAN＝60°，故选B，C. 7．解析　∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，设一个焦点坐标为F(c，0)，一个渐近线方程为bx－ay＝0，则焦点到渐近线的距离为3，则d＝＝＝b＝3， ∵双曲线c的离心率为，∴e＝＝，即c＝a， 则c2＝a2＝a2＋9，即a2＝9，则a2＝16，a＝4， 则c的实轴长为2a＝8. 答案　8 8．解析　双曲线c：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A(a，0)， 以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线c的一条渐近线交于M、N两点， 若∠MAN＝60°，可得A到渐近线bx＋ay＝0的距离为：bcos 30°＝b， 可得：＝b，即＝，可得离心率为. 答案　 9．解析　由双曲线的一条渐近线y＝x， 由题意可知该切线方程为y＝－(x－c)， 即ax＋by－ac＝0， 由圆(x－a)2＋y2＝的圆心为c(a，0)到切线的距离d＝＝＝， 由e＝，则e2－4e＋4＝0，解得e＝2. 答案　2 10．解析　设双曲线的方程为－＝1(a＞0，b＞0)，F1(－c，0)．当点P在x轴上方时，以原点O为圆心，|OF1|为半径的圆的方程为x2＋y2＝c2.联立得方程组解得 ∴点P的坐标为. ∴直线PF1的斜率为 k＝＝＜， ∴a＜c2－ab，∴b＞2a，∴＞2. ∴双曲线的离心率e＝＝ ＞. 当点P在x轴下方时， 同理可得双曲线的离心率为e＞. 因此双曲线的离心率的取值范围是(，＋∞)． 答案　(，＋∞) $对点练67　双曲线的几何性质 1．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　) A．2　　　　 B．4　　　　 C．6　　　　 D．8 2．已知双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的两倍，则实数m的值是(　　) A．4 B．－ C. D．－4 3．双曲线C：－＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为(　　) A. B. C．2 D．3 4．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 5．(多选题)双曲线M：－＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，离心率为，则过点P(0，1)且与双曲线M相切的直线l的方程为(　　) A．y＝－x＋1 B．y＝x＋1 C．y＝－x＋1 D．y＝x＋1 6．(多选题)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有(　　) A．渐近线方程为y＝±x B．渐近线方程为y＝±x C．∠MAN＝60° D．∠MAN＝120° 7．双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________． 8．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________． 9．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2＋y2＝的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为________． 10．已知点F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，点O为坐标原点，以原点O为圆