专题01 锐角三角函数-2021-2022学年九年级数学上册同步辅导《考点•题型 •技巧》讲练突破（沪科版）

专题01 锐角三角函数 考点1 锐角三角函数的定义 锐角三角函数定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则∠A的正弦：sinA==；∠A的余弦：cosA==；∠A的正切：tanA==；它们统称为∠A的锐角三角函数 考点2 网格中的锐角三角函数值计算 【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度. 1．在△ABC中，∠C＝90°，，则（　　） A．cosA＝ B．sinB＝ C．tanA＝ D．tanB＝ 【答案】D 【分析】 设AB=5a，BC=3a，则AC=4a，然后根据三角函数的定义逐项排查即可． 【详解】 解：设AB=5a，BC=3a，则AC=4a， 则cosA＝＝，故A错误； sinB＝＝，故B错误； tanA＝，故C错误； tanB＝＝，故D正确． 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了三角函数的定义和勾股定理，掌握并灵活运用三角函数的定义成为解答本题的关键． 2．在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列结论正确的是（　　） A．b＝a•sinA B．b＝a•tanA C．c＝a•sinA D．a＝c•cosB 【答案】D 【分析】 根据三角函数定义：（1）正弦：我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA．（2）余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cosA．（3）正切：锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA．分别进行分析即可． 【详解】 解：在直角△ABC中，∠C＝90°，则 sinA＝，则，故A选项错误、C选项错误； tanA＝，则b＝，故B选项错误； cosB＝，则a＝ccosB，故D选项正确； 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握锐角三角函数的定义． 3．如图，中，，于点，已知：，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由题知，根据角的等量代换可知，再根据设，再根据勾股定理即可解得，即可得解． 【详解】 解：由题知 ，， ， ， 设，， 则， ， 故选C． 【点睛】 本题考查了三角函数的定义、同角的余角相等、勾股定理；熟练掌握相关的基础知识是关键． 4．在中，，，，则等于（ ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】 直接根据余弦定义求解即可． 【详解】 解：∵中，，，， ∴， ∴AC==2． 故选B． 【点睛】 在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A的正弦等于∠A的对边比斜边， ∠A的余弦等于∠A的邻边比斜边，∠A的正切等于∠A的对边比邻边． 5．如图，在菱形ABCD中，，，过点A作于点E，现将△ABE沿直线AE翻折至△AFE的位置，AF与CD交于点G，则△CFG的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用三角函数设出AE=3,BE=4,根据勾股定理，求出，根据四边形ABCD为菱形，可得AD=AB=BC=5，AD∥BC，根据△ABE沿直线AE翻折至△AFE，可得EF=BE=4，可求CF =3，再证△ADG∽△FCG，结合平行线间的距离相等可得HM=AE=3，求出高GM，利用面积公式求即可． 【详解】 解：过G作GH⊥AD于H，延长HG交CF于M， ∵，， 设AE=3，BE=4, 根据勾股定理即， 解得 ∴BE=4，AE=3， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=AB=BC=5，AD∥BC， ∵△ABE沿直线AE翻折至△AFE， ∴EF=BE=4， ∴EC=BC-AE=5-4=1， ∴CF=EF-EC=4-1=3， ∵AD∥CF， ∴∠D=∠GCF，∠DAG=∠F， ∴△ADG∽△FCG， ∴ 又∵HM⊥AD，AE⊥AD，AD∥BF， ∴HM=AE=3， 设HG=5n，MG=3n， ∴5n+3n=3, 解得, ∴MG=， ∴△CFG的面积=． 故选：B． ． 【点睛】 本题考查菱形性质，折叠性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形相似的判定与性质，三角形面积，掌握菱形性质，折叠性质，锐角三角函数，勾股定理，三角形相似的判定与性质，三角形面积是解题关键． 6．在RtABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则tanA的值（ ） A．不变 B．扩大5倍 C．缩小5倍 D．不能确定 【答案】A 【分析】 利用∠A的大小没有变进行判断． 【详解】 解：∵∠C＝90°，各边都扩大5倍所得的三角形与原三角形相似， ∴∠A的大小没有变， ∴tanA的值不变． 故选：A． 【点睛】 本题考查了锐角三角函数的定义：在Rt△ABC中，∠C＝90°．把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sinA． 7．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知