专题3.3 解直角三角形及其应用（高效培优讲义）数学沪科版九年级上册

专题3.3 解直角三角形及其应用 教学目标 1.理解解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的方法，并能根据已知条件选择正确的方法解直角三角形。 2.理解坡度（坡比）、坡角、仰角、俯角、水平长度、铅直高度、方向角等测量中的有关概念，会用解直角三角形的有关知识解决生活中的实际问题。 教学重难点 教学重点： 掌握直角三角形的边角关系，包括勾股定理、锐角三角函数定义。熟练运用边角关系解直角三角形，求出未知的边或角。 教学难点： 非特殊角（如 37°、53° 等常用近似角）的三角函数值运用，以及结果的精准估算。解读实际情境中的仰角、俯角、坡度、方位角等实际问题，建立数学与实际的联系。 知识点01 解直角三角形的定义 （1）解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即学即练】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）已知中，，，，则等于 ． 知识点02 解直角三角形在实际问题中的应用 1.仰角、俯角 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 2.方向角 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 3.坡度、坡角 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 4.解直角三角形综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【即学即练1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，楼和塔之间的距离为，小明在楼底处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶测得塔顶的仰角为，求楼高． 【即学即练2】（2025·安徽合肥·一模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看立柱高，踏板静止时踏板连杆与上的线段重合，长为，当踏板连杆绕着点A旋转到处时，测得，此时点C离地面的距离是，求和的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【即学即练3】（2025·安徽合肥·一模）如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为，求长度（精确到）．参考数据：，，，． 【即学即练4】（2025·安徽合肥·二模）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【即学即练5】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，某考察船在某海域进行科考活动，在点A测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东方向航行了4海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)求点B与小岛C之间的距离．（精确到0.1海里） （参考数据：） 题型01 对解直角三角形各种类型的考查 【例1-1】（已知一锐角和斜边解直角三角形）（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【例1-2】（已知一锐角和一直角边解直角三角形）（2025·安徽合肥·三模）如图，在Rt中，，点在边上，若，，则为（　　） A． B． C． D． 【例1-3】 （已知斜边和一直角边解直角三角形）（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在中，，是边上的高，，求和． 【例1-4】（已知两直角边解直角三角形）（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在四边形中，，，求的长． 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，求． 【变式1-2】（2024·安徽安庆·二模）如图，是的高，，，，E是边上一点，且，连接，求． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 【变式1-4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的高线，是上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【变式1-5】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)求的值 (3)若是的中点，求的长． 题型02 解直角三角形在求图形面积中的运用 【例2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【变式2-1】如图，已知△ABC是面积为4的等边三角形，△ABC∽△ADE，    AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）． 【变式2-2】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【变式2-3】如图，在中， D、E分别是AC、AB上的点，AC = 7，，AE = BC，，求． A B C D E 题型03 解直角三角形的实际应用 【例3-1】（仰角、俯角问题）（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪和的高度均为1.4米，分别从点和点处测得建筑物最高点的仰角为和，已知，与水平线垂直，，之间的距离为24米，求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，已知图中所有点都在同一平面中，建筑物与水平面垂直，参考数据：，，，） 【例3-2】（方向角问题）（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 【例3-3】（坡度、坡角问题）（2025·安徽安庆·一模）2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点、、在同一条直线上．已知，，运动员滑下后从点走到点的速度为50米/分，坐电梯从到点的速度为100米/分． (1)求雪场电梯的长度． (2)计算运动员从点走到点，再坐电梯从到点，所需的时间．（，，，，，结果保留整数） 【例3-4】（其他问题）（2025·安徽合肥·二模）校车安全一直是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，相关部门为了检测车速，在某路段的红绿灯处安装了测速探头．如图，一辆校车在一条笔直的公路上从A处行驶到B处，所用的时间为，测速探头C、E到地面的距离，两测速探头之间的距离．若，，该路段限速． (1)求A、B两点之间的距离（结果精确到，参考数据：）； (2)通过计算说明该校车从从A处行驶到B处是否超速？ 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度．他站在距离水杉树的E处，测得树顶的仰角，已知测角器的架高，问树高为多少？（精确到0.1米，） 【变式3-2】（2025·安徽滁州·二模）为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼）前面的楼的高度．如图，他首先在间的点M处架了测角仪，测得楼楼顶D的仰角为已知米，测角仪距地面米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼楼顶D的仰角为，米，请求出楼的高度．（参考数据：，，）． 【变式3-3】（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 【变式3-4】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西方向步行到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距离．（参考数据：，，） 【变式3-5】（2025·安徽合肥·二模）我军舰在点A的北偏东方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西的方向上，点Ｃ在点B的北偏西，点A，C之间相距海里，求点B，C之间的距离．（结果保留海里）参考数据：，， 【变式3-6】（2025·安徽合肥·二模）如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 【变式3-7】（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【变式3-8】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，某高楼上有一旗杆，某校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度的山坡从坡脚的A处前行50米到达处，测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的仰角为（测量员的身高忽略不计）．已知旗杆高米，求该高楼OB的高度为多少米．（参考数据： ） 【变式3-9】（24-25九年级上·安徽池州·期末）拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．     【变式3-10】（2025·安徽淮北·三模）如图，两束光分别沿，方向，经过平面镜反射后，沿，方向射出，反射后的光线交于点，已知．求的度数及，两点间的距离．参考数据：，． 题型04 分类讨论思想在解直角三角形中的运用 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，， ，则的长为 ． 【变式4-1】已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为 ． 【变式4-2】已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于 ． 题型05 方案设计题 【例5】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）某小区有处斜坡较陡，有一定的安全风险，为提高安全性能，小区物业准备对该斜坡进行改造，并制定了如下改造方案，请你帮小区物业解决方案中的问题． 方案名称 斜坡安全改造预算 测量工具 测角仪、卷尺等 方案设计 如图，将斜坡的上端由拓宽为，下端由拓宽为，其中，原斜坡由改为，其中上下两条水平路面拓宽部分工程造价为500元/米，斜坡的造价为600元/米，．（图中所有点均在同一平面内，点在同一水平直线上，点在同一水平直线上） 测量数据 【步骤一】利用卷尺测得； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 求斜坡改造工程的总预算． （参考数据：） 【变式5-1】为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表： （1）哪个小组的数据无法计算出河宽？ （2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）． （参考数据：） 【变式5-2】（2025·安徽合肥·三模）某数学研究性学习小组，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量小岛面积 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 如图，表示湖中小岛，，先在湖岸边取点D，使点C，B，D在同一条直线上；再过点D作，在上取点E，用皮尺测得长为28米，在点E处用测角仪测得    根据表格提供的信息，解决下面问题， （参考数据：） (1)求的长； (2)求小岛的面积． 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【变式5-4】（2025·安徽·三模）项目式学习 项目背景 中庙又名忠庙、太姥庙，位于安徽巢湖市的中庙镇，古时因“中庙”居巢州、庐州的中间，所得地名，也就有了“中庙寺”的寺名，如图1所示．某学校数学兴趣小组在详细研究了中庙的结构设计后，想用所学知识测量这座庙的高度，其示意图如图2所示．为了更好地测量中庙的高度，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图2所示，在垂直地面的这座庙侧方有一平台广场，小明在平台广场A处测得庙顶端的仰角为，，走上侧边阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． 任务1 （1）求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离；（结果保留整数） 任务2 （2）求这座庙的高度．（结果保留整数） 参考数据 ，，， 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．16米 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图所示是一水库大坝的横截面的一部分，坝高，迎水坡，则该斜坡的坡度是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，于点D，若，，则的长为（   ） A． B． C．6 D．3 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，等边的边长为，点，点同时从点出发，点沿以的速度向点运动，点沿以的速度也向点运动，直到到达点时停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·安徽亳州·三模）如图，正方形ABCD中，，E为AD的中点，P为BC边上一动点，连接DP，过P点作，且，连接EF，则线段EF长度的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知中，，，则 ． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为 米． 11．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则 ． 12．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知点，分别在反比例函数，的图像上，，若，则 ． 13．（2025·安徽合肥·三模）在中，，，，动点从点出发，沿运动到点停止，，，点与点位于的同一侧，连接． （1）当时， ． （2）连接，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值为 ． 三、解答题 14．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，是矩形的对角线，，，点E，F分别是线段，上的点，连接，．当，且时，求的长．    15．（2024·安徽蚌埠·三模）2025年4月24日17时17分28秒，神舟二十号载人飞船发射成功标志着中国航天开启“太空工业革命”，图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 16．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 17．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）安徽广播电视中心建筑结合了前沿的科技成果和现代的建筑理念，建筑布局整体平面造型如飞翔的凤凰，而立面灵感则来自己于“龙”之精神，展现了安徽广电“升腾”之意，同时隐喻安徽“蓬勃向上”的发展态势．形式简洁现代，富有动感．安徽广播电视中心大楼用篆书字体打乱书写有万方安徽的地名、河名、湖名、山名等的汉字幕墙，体现人性化设计，营造出浓厚的文化氛围．某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：）    18．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，某一海域有4个小岛，其中小岛位于同一条直线上，经测量，小岛A位于小岛B北偏东且小岛A位于小岛C北偏东，小岛B和小岛C之间的距离为海里． (1)求小岛A和小岛C之间的距离的长；（结果保留根号） (2)若小岛D位于小岛A东偏南方向，求小岛A与小岛D之间的距离的长．（参考数据：；结果精确到海里） 19．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，高，交于点H，，，点G为延长线上一点，连接，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)若． ①当，时，求的值； ②当，且时，求的长 20．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）综合与实践： 项目任务：校园草坪设计 项目背景：学校举办“迎十一，爱祖国，爱劳动”主题实践活动，九（1）班参加校园草坪设计： 校园内有一块宽为20米，长为30米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路．具体要求： ①矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；②两条小路必须设计成平行四边形． 任务1 九（1）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图）： （1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系：______，______；（请填“”或“”） 任务2 （2）验证猜想：请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积______； 任务3 （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为551平方米．请求每条小路的宽度是多少？ 任务4 （4）为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究，若两条小路与矩形两组对边所夹锐角．用含x的代数式表示四边形的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 解直角三角形及其应用 教学目标 1.理解解直角三角形的概念，掌握解直角三角形的方法，并能根据已知条件选择正确的方法解直角三角形。 2.理解坡度（坡比）、坡角、仰角、俯角、水平长度、铅直高度、方向角等测量中的有关概念，会用解直角三角形的有关知识解决生活中的实际问题。 教学重难点 教学重点： 掌握直角三角形的边角关系，包括勾股定理、锐角三角函数定义。熟练运用边角关系解直角三角形，求出未知的边或角。 教学难点： 非特殊角（如 37°、53° 等常用近似角）的三角函数值运用，以及结果的精准估算。解读实际情境中的仰角、俯角、坡度、方位角等实际问题，建立数学与实际的联系。 知识点01 解直角三角形的定义 （1）解直角三角形的定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【即学即练】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）已知中，，，，则等于 ． 【答案】5 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为： 知识点02 解直角三角形在实际问题中的应用 1.仰角、俯角 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角； 2.方向角 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 3.坡度、坡角 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域 ③航海领域：④工程领域等． 4.解直角三角形综合应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【即学即练1】（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，楼和塔之间的距离为，小明在楼底处测得塔顶的仰角为，爬到楼顶测得塔顶的仰角为，求楼高． 【答案】 【详解】解：由题意得：，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴． 答：大楼的高为． 【即学即练2】（2025·安徽合肥·一模）如图1是小区常见的漫步机，当人踩在踏板上，握住扶手，像走路一样抬腿，就会带动踏板连杆绕轴旋转，如图2，从侧面看立柱高，踏板静止时踏板连杆与上的线段重合，长为，当踏板连杆绕着点A旋转到处时，测得，此时点C离地面的距离是，求和的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【详解】解：过点C作与G，设． 则． 在中， 即 解得 答：的长约为，的长约为． 【即学即练3】（2025·安徽合肥·一模）如图1为世界上早期的潜望镜，记载于公元前2世纪西汉《淮南万毕术》：中国古代潜望镜的制法：“取大镜高悬，悬水盆于其下，则见四邻也”，实现了在院墙内监测到墙外人员的实时工作状态，其工作原理为物理学中光的反射原理，如图2为其抽象的数学示意图，点为水盆，点为被观测者，现测得入射角，，与为法线，．若长为，求长度（精确到）．参考数据：，，，． 【详解】如图所示，过点A作于点E， ∵入射角， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴． 【即学即练4】（2025·安徽合肥·二模）某古村落的斜坡上有一棵古树，斜坡的坡度i为，古树底端Q到坡底A点的距离为2.6米．为了保护这棵古树，在距离斜坡底A点4.4米的水平地面上立了一块古树信息牌，古树和古树信息牌均与地面垂直．某校数学兴趣小组测得当太阳光线与水平线成角时，古树落在信息牌上的影子长为3米，请帮助他们计算出古树的高度．（结果精确到0.1，参考数据：，，） 【详解】解：延长交于点，过点作，由题意，得：， 则四边形为矩形， ∴，， 在中， ∵斜坡的坡度i为，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在中，由题意，得：， ∴， ∴； 答：古树的高度为米． 【即学即练5】（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，某考察船在某海域进行科考活动，在点A测得小岛C在它的东北方向上，它沿南偏东方向航行了4海里到达点B处，又测得小岛C在它的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)求点B与小岛C之间的距离．（精确到0.1海里） （参考数据：） 【详解】（1）解：如图， 由题意知：海里，， ， ， ， ∴． ， ． ． （2）解：如图，过点A作，垂足为M． 在中， 海里，， ∴， 海里，海里． 在中，， （海里）， （海里）． 答：考察船在点B处与小岛C之间的距离为10.7海里． 题型01 对解直角三角形各种类型的考查 【例1-1】（已知一锐角和斜边解直角三角形）（24-25九年级上·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解：在中，，， ∴，即，解得：， ， ． 故选：A． 【例1-2】（已知一锐角和一直角边解直角三角形）（2025·安徽合肥·三模）如图，在Rt中，，点在边上，若，，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【例1-3】 （已知斜边和一直角边解直角三角形）（24-25九年级上·安徽宿州·期末）在中，，是边上的高，，求和． 【答案】，； 【详解】解：如图，，是边上的高，， ； 【例1-4】（已知两直角边解直角三角形）（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在四边形中，，，求的长． 【答案】34 【详解】解：如图，延长与延长线交于点E． 在中， ，， ∴， ∴，． ∴， ∴， ∴， ∴， 即的长为34． 【变式1-1】（23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，在中，，，求． 【答案】10 【详解】解：过点A作，则：， 在中，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴． 【变式1-2】（2024·安徽安庆·二模）如图，是的高，，，，E是边上一点，且，连接，求． 【答案】 【详解】解：如图：作于， ， ∵是的高， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴为直角三角形，且， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【变式1-3】（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，是边上的中线，过点D作，垂足为点E，若． (1)求的长； (2)求的正切值． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ， ． （2）过点A作于点F， ， ∵D是的中点， ∴是的中位线， ， 由（1）可知：， ， ， ． 【变式1-4】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，是的高线，是上一点，，若，． (1)求的长； (2)若，求的值． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作于点， 是的高线， ， ， ， 又， ， 可得：， 解得：， 在中，， ， 解得： ； （2）解：由可得：，， ，， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， ． 【变式1-5】（24-25九年级上·安徽宣城·阶段练习）如图，在中，，，．    (1)求的长． (2)求的值 (3)若是的中点，求的长． 【详解】（1）解：过点A作于点E，    ∴， ，，， ． 在中 ， ； （2）过点B作于点F． ∴，    在中， ，， 在中，， 由勾股定理，得： ∵，， 在中，， ； （3）点D是的中点，， ， ， 由（2）得， 在中， 由勾股定理，得： ． 题型02 解直角三角形在求图形面积中的运用 【例2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的面积（结果保留根号）． 【详解】（1）解：过点作于． 在中， ，， ， ∵在中，， ； （2）∵在中，， ， 在中，根据勾股定理， ， 的面积． 【变式2-1】如图，已知△ABC是面积为4的等边三角形，△ABC∽△ADE，    AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积等于 （结果保留根号）． 【答案】3- 【详解】解：作CM⊥AB于M， ∵等边△ABC的面积是4， ∴设BM=x，∴tan∠BCM=， ∴BM=CM， ∴×CM×AB=×2×CM2=4， ∴CM=2，BM=2， ∴AB=4，AD=AB=2， 在△EAD中，作HF⊥AE交AE于H，    则∠AFH=45°，∠EFH=30°， ∴AH=HF， 设AH=HF=x，则EH=xtan30°=x． 又∵AH+EH=AE=AD=2， ∴x+x=2， 解得x=3-． ∴S△AEF=×2×（3-）=3-． 故答案为3- 【变式2-2】如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 【变式2-3】如图，在中， D、E分别是AC、AB上的点，AC = 7，，AE = BC，，求． A B C D E 【解析】解：过点E作EF⊥AC，交AC于点F． 设． 在中，，∴，． 在中，，即，∴，． ∵，，∴，∴，∴，∴． ∵，∴．∵，∴． ∵， ∴． 题型03 解直角三角形的实际应用 【例3-1】（仰角、俯角问题）（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图所示，用测角仪测量远处建筑物的高度．已知测角仪和的高度均为1.4米，分别从点和点处测得建筑物最高点的仰角为和，已知，与水平线垂直，，之间的距离为24米，求建筑物的高度．（结果精确到0.1米，已知图中所有点都在同一平面中，建筑物与水平面垂直，参考数据：，，，） 【答案】米． 【详解】解：延长交于点H，由题意可得，四边形，，均为矩形， 米，米， 设米 ， 米 米，米 在中， ∴ 解得 米 ∴建筑物的高度为米． 【例3-2】（方向角问题）（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）小海和小亮两人相约一起去参观革命烈士纪念馆．已知小海家B在小亮家A的北偏西方向上，．两人到达革命烈士纪念馆C处后，发现小亮家A在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上，小海家B在革命烈士纪念馆C的南偏西方向上．求小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离．（结果保留1位小数；参考数据：） 【详解】解：如图，过点作，垂足为. 由题意，得， . 在中，， ∴， . 在中，， ∴. 答：小亮家A到革命烈士纪念馆C的距离约为． 【例3-3】（坡度、坡角问题）（2025·安徽安庆·一模）2025年亚冬会在哈尔滨举行．亚布力滑雪场初级赛道截面图，如图所示，平台长10米，滑道长400米，滑道的坡角，雪场电梯坡角，点、、在同一条直线上．已知，，运动员滑下后从点走到点的速度为50米/分，坐电梯从到点的速度为100米/分． (1)求雪场电梯的长度． (2)计算运动员从点走到点，再坐电梯从到点，所需的时间．（，，，，，结果保留整数） 【详解】（1）解：过点作于点． 在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ 在中，，， ∴（米） （2）解：在中，，， （米） ∵四边形是矩形， ∴ ∴（米） 在中 ∵， ∴（米） ∴（米） ∴所需总时间为：（分钟） 答：运动员从点走到点，再坐电梯从点到点所需时间大约需要6分钟． 【例3-4】（其他问题）（2025·安徽合肥·二模）校车安全一直是社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载，相关部门为了检测车速，在某路段的红绿灯处安装了测速探头．如图，一辆校车在一条笔直的公路上从A处行驶到B处，所用的时间为，测速探头C、E到地面的距离，两测速探头之间的距离．若，，该路段限速． (1)求A、B两点之间的距离（结果精确到，参考数据：）； (2)通过计算说明该校车从从A处行驶到B处是否超速？ 【详解】（1）解：根据题意，得四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即A、B两点之间的距离约为； （2）解：该车速度为， ∴该车没有超速． 【变式3-1】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度．他站在距离水杉树的E处，测得树顶的仰角，已知测角器的架高，问树高为多少？（精确到0.1米，） 【答案】 【详解】解：由题意知，四边形是矩形， ，， 在中，， ， ， 即树高为． 【变式3-2】（2025·安徽滁州·二模）为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼）前面的楼的高度．如图，他首先在间的点M处架了测角仪，测得楼楼顶D的仰角为已知米，测角仪距地面米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼楼顶D的仰角为，米，请求出楼的高度．（参考数据：，，）． 【详解】解：如图，过点N作于点G，延长，，交于点H，交于点． 则四边形是矩形，，，米，米， （米）， 在中，， ， 在中，（米）， 设米， 在中，，即， 解得， 则（米）， 楼的高度为25米． 【变式3-3】（2025·安徽·中考真题）某公司为庆祝新产品上市，在甲楼与乙楼的楼顶之间悬挂彩带营造喜庆气氛．如图所示，甲楼和乙楼分别用与水平地面垂直的线段和表示，彩带用线段表示．工作人员在点A处测得点C的俯角为，测得点D的仰角为．已知，求的长（精确到）．参考数据：，，，，，． 【答案】 【详解】解：过点A作，垂足为点E． ∵线段和都与地面垂直， ∴四边形为矩形， ∴． 在中，， ∴． 在中，， ． 答：的长为． 【变式3-4】（2025·安徽蚌埠·三模）如图，航航和朋友们计划在商场A集合后，先去位于西南方向的咖啡厅B，然后沿南偏西方向步行到书店C，最后前往电影院D．已知电影院D位于书店C的正东方向，且电影院D在商场A的正南方向．若从咖啡厅B到书店C的距离为400米，从书店C到电影院D的距离为700米，求商场A到电影院D的距离．（参考数据：，，） 【详解】解：过B点作于点E，于点F， 由题意得，， 四边形为矩形， ， 由题意得，米，米， 在中，， （米）， （米）， （米），（米）， 在中，， （米）， （米） 答：商场A到电影院D距离约为780米． 【变式3-5】（2025·安徽合肥·二模）我军舰在点A的北偏东方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西的方向上，点Ｃ在点B的北偏西，点A，C之间相距海里，求点B，C之间的距离．（结果保留海里）参考数据：，， 【详解】作于点D，如图： ， 由题意知，，， 在中，，， ∴（海里）， 在中，， ， ∴（海里）， 答：点，之间的距离为海里； 【变式3-6】（2025·安徽合肥·二模）如图，一船以20海里/时的速度向西航行，在A处测得灯塔B在北偏西的方向上，继续航行1小时到达C处，再测得灯塔B在北偏西的方向上．已知灯塔B四周15海里内有暗礁，问该船继续向西航行是否安全？ 【详解】解：过点B作于点B，设海里． 在中，， 在中，， 由得， 解方程，得． 答：该船继续向西航行是安全的． 【变式3-7】（2025·安徽·一模）随着时代的发展和人们生活水平的提高，私家车越来越多，停车越来越难，停车场的建造就成为解决问题的途径之一．如图是一个新建的地下停车场的设计示意图，已知坡道的坡比，的长为8.4米，的长为0.9米．按规定，停车场坡道口上方需张贴限高标志，以便告知停车人其车辆能否安全驶入，请根据所给数据，确定该停车场入口的限高，即的长为多少？ 【详解】解：延长交于点E， ， ， ， ， ， ． ， ． ∴， 设，， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴米． 答：点D到的距离的长为2.4米． 【变式3-8】（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，某高楼上有一旗杆，某校数学兴趣小组的同学准备利用所学的三角函数知识估测该高楼的高度，由于有其他建筑物遮挡视线不便测量，所以测量员沿坡度的山坡从坡脚的A处前行50米到达处，测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部的仰角为（测量员的身高忽略不计）．已知旗杆高米，求该高楼OB的高度为多少米．（参考数据： ） 【详解】解：如图，过点作于点于点， 则四边形为矩形， ． 坡的坡度， ， ， 米． 在中，， ， 在中，， ． ， ， 解得米， （米）， （米）． 的高度约为70米． 【变式3-9】（24-25九年级上·安徽池州·期末）拉杆旅行箱为人们的出行带来了极大的方便，下图是一种拉杆旅行箱的侧面示意图，箱体可视为矩形，其中为，为，点A到地面的距离为，旅行箱与水平面成角，求箱体的最高点C到地面的距离．     【详解】解：过点作交直线于点，过点作交直线于点，交地面于点， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴箱体的最高点C到地面的距离为． 【变式3-10】（2025·安徽淮北·三模）如图，两束光分别沿，方向，经过平面镜反射后，沿，方向射出，反射后的光线交于点，已知．求的度数及，两点间的距离．参考数据：，． 【详解】解：入射角等于反射角， ， 同理， 如图，作于点， 在中，设， ， 在Rt中，， ， ， ， ， ， 在Rt中，， ． 题型04 分类讨论思想在解直角三角形中的运用 【例4】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，， ，则的长为 ． 【答案】或 【详解】解：当时， ，， ， ， 当时， ，， ， ， 故答案为：或． 【变式4-1】已知△ABC中，tanB=，BC=6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD：CD=2：1，则△ABC面积的所有可能值为 ． 【答案】8或24． 【详解】解：如图2所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=4， ∵AD⊥BC，tanB=， ∴=， ∴AD=BD=， ∴S△ABC=BC•AD=×6×=8； 如图2所示： ∵BC=6，BD：CD=2：1， ∴BD=12， ∵AD⊥BC，tanB=， ∴=， ∴AD=BD=8， ∴S△ABC=BC•AD=×6×8=24； 综上，△ABC面积的所有可能值为8或24，故答案为8或24． 【变式4-2】已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于 ． 【答案】15或10 【详解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D， ①如图1，当AB、AC位于AD异侧时， 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5， 在Rt△ACD中，∵AC=2， ∴CD=， 则BC=BD+CD=6， ∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15； ②如图2，当AB、AC在AD的同侧时， 由①知，BD=5，CD=， 则BC=BD-CD=4， ∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10． 综上，△ABC的面积是15或10， 故答案为15或10． 题型05 方案设计题 【例5】（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）某小区有处斜坡较陡，有一定的安全风险，为提高安全性能，小区物业准备对该斜坡进行改造，并制定了如下改造方案，请你帮小区物业解决方案中的问题． 方案名称 斜坡安全改造预算 测量工具 测角仪、卷尺等 方案设计 如图，将斜坡的上端由拓宽为，下端由拓宽为，其中，原斜坡由改为，其中上下两条水平路面拓宽部分工程造价为500元/米，斜坡的造价为600元/米，．（图中所有点均在同一平面内，点在同一水平直线上，点在同一水平直线上） 测量数据 【步骤一】利用卷尺测得； 【步骤二】在点处用测角仪测得； 【步骤三】在点处用测角仪测得． 解决问题 求斜坡改造工程的总预算． （参考数据：） 【详解】解：作，垂足为，如图． ， ， ， 又， ， 在中， ， ， ， ， ． 故总造价约为：（元）． 答：斜坡改造工程的总预算约为3905元． 【变式5-1】为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表： （1）哪个小组的数据无法计算出河宽？ （2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）． （参考数据：） 【详解】（1）第二小组的数据中，通过解直角三角形可得到Rt△中的BC、DC，无法与Rt△产生关联，故第二小组无法计算出河宽． （2）答案不唯一．若选第一小组的方案及数据（如图）， ∵∠ABH=∠ACH+∠BHC，∠ABH=70°，∠ACH=35°， ， m． 在Rt△中，AH=BH×sin70°≈56.4(m)． 【变式5-2】（2025·安徽合肥·三模）某数学研究性学习小组，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量小岛面积 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 如图，表示湖中小岛，，先在湖岸边取点D，使点C，B，D在同一条直线上；再过点D作，在上取点E，用皮尺测得长为28米，在点E处用测角仪测得    根据表格提供的信息，解决下面问题， （参考数据：） (1)求的长； (2)求小岛的面积． 【详解】（1）解：由题意可得：，长为28米， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； （2）解：过点A作于点M，如图所示： ∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴（米）， ∴小岛的面积为：（平方米）． 即：小岛的面积为441平方米． 【变式5-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）下表是小明进行数学学科项目式学习的记录表，填写活动报告的内容． 项目主题 测量立柱的高度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量示意图 测量说明 太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且 测量数据 的长 的长 斜坡的坡角的度数 请你借助小明的测量数据，求立柱的高度（结果精确到，参考数据：，，） 【详解】解：如图，过点D作于G，于H， ， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 答：立柱的高度约为； 【变式5-4】（2025·安徽·三模）项目式学习 项目背景 中庙又名忠庙、太姥庙，位于安徽巢湖市的中庙镇，古时因“中庙”居巢州、庐州的中间，所得地名，也就有了“中庙寺”的寺名，如图1所示．某学校数学兴趣小组在详细研究了中庙的结构设计后，想用所学知识测量这座庙的高度，其示意图如图2所示．为了更好地测量中庙的高度，小组需完成两个任务． 图示及说明 如图2所示，在垂直地面的这座庙侧方有一平台广场，小明在平台广场A处测得庙顶端的仰角为，，走上侧边阶梯，阶梯的坡度，阶梯的坡面长度为． 任务1 （1）求阶梯的垂直高度，即点到直线的距离；（结果保留整数） 任务2 （2）求这座庙的高度．（结果保留整数） 参考数据 ，，， 【详解】解：（1）分别延长和交于点，过点作，交于点， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ 阶梯的坡度，即， ∴设，则， 在中，，即， 解得（米）， 答：阶梯的垂直高度，即点到直线的距离约为米． （2）解：在中，， ∴（米）． 由题易得，四边形为矩形， ∴米， ∴（米）． 答：这座塔的高度约为米． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．16米 【答案】B 【详解】解：由题意得：，， 在中，， ， 在中，， ， ， 米， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图所示是一水库大坝的横截面的一部分，坝高，迎水坡，则该斜坡的坡度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于点，则， ∵迎水坡， ∴， ∴该斜坡的坡度是， 故选：D． 3．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）如图，在中，，，点D是上一点，连接．若，，则的长是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】解：在中，，，， ∴ ， ， 过点作于点，如图， ∴， ∵，， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作于， 在等腰中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 5．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）在等腰三角形中，一腰上的高为，这条高与底边的夹角的正弦值为，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， 如图所示， 根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积， 故选：B． 6．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，于点D，若，，则的长为（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】A 【详解】解：∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， 设，则：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，等边的边长为，点，点同时从点出发，点沿以的速度向点运动，点沿以的速度也向点运动，直到到达点时停止运动．若的面积为，点的运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当点Q在边运动时如图， ， 又，， ， ， ， 第一段过原点，开口向上，故排除A、B项； 当点在边运动时，作如图， ，， ， ， ∵ ∴图象为开口向下的抛物线，排除D项， 只有C项符合题意， 故选C． 8．（2025·安徽亳州·三模）如图，正方形ABCD中，，E为AD的中点，P为BC边上一动点，连接DP，过P点作，且，连接EF，则线段EF长度的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】解：如图，取的中点M，连接，，连接并延长交于点，设交于点 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵是的中点， ∴， 又∵，， ∴即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴点在上运动， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∴当在上时，取得最小值，此时重合， ∵，则， 在中，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴，即的最小值为 故选：A． 二、填空题 9．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知中，，，则 ． 【答案】 【详解】解：如图， ∵， ∴设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，为了测量河宽，从处测得对岸的夹角，从处测得对岸C的夹角，点和点位于点的两侧，测得米，则点到的距离为 米． 【答案】 【详解】解：如下图所示，过点作， 设米， ， 米， 在中，， ， ， ， ， 解得：， 点到的距离为米． 故答案为： ． 11．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则 ． 【答案】4 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点B落在边的上方点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 12．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）已知点，分别在反比例函数，的图像上，，若，则 ． 【答案】 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点，分别在反比例函数，的图像上， ∴，， ∴， ∴， ∵点在第一象限， ∴． 故答案为：． 13．（2025·安徽合肥·三模）在中，，，，动点从点出发，沿运动到点停止，，，点与点位于的同一侧，连接． （1）当时， ． （2）连接，则在点运动的整个过程中，线段长的最小值为 ． 【答案】 2 【详解】解：（1）如图：过A作， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵，， ∴点Q在上，． 故答案为：2． （2）如图：过A作，延长到F，使得，连接、并延长交于G， ∵，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵F为定点，为定角， ∴点Q在直线上， ∵， ∴， ∴当点Q在点G处时，取最小值， 在中，，即，解得：， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题 14．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，是矩形的对角线，，，点E，F分别是线段，上的点，连接，．当，且时，求的长．    【答案】 【详解】解：如图，作于点G，    ∵四边形为矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（2024·安徽蚌埠·三模）2025年4月24日17时17分28秒，神舟二十号载人飞船发射成功标志着中国航天开启“太空工业革命”，图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米， 雷达的高度为10米，火箭发射，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，，） 【详解】解：过点作于点，延长交的延长线于点， 在中，坡度为，米， 设，则， ∴， ∴ ∴米，米， ∵， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴米， ∴米， ∴（米/秒） 答：火箭发射时速度约为425米/秒． 16．（24-25九年级上·安徽宣城·开学考试）如图，一艘船从处出发沿着正东方向航行，此时岸边的瞭望塔在处的西北方向上；当天到达处，此时瞭望塔在处的北偏西方向上，已知该船的平均速度是30海里/小时，问：的面积是多少平方海里？（结果精确到0.1，参考数据：，） 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：（海里）， , , 设海里， 中，， ， ， ， （海里）， 的面积（平方海里） 17．（24-25九年级下·安徽黄山·期中）安徽广播电视中心建筑结合了前沿的科技成果和现代的建筑理念，建筑布局整体平面造型如飞翔的凤凰，而立面灵感则来自己于“龙”之精神，展现了安徽广电“升腾”之意，同时隐喻安徽“蓬勃向上”的发展态势．形式简洁现代，富有动感．安徽广播电视中心大楼用篆书字体打乱书写有万方安徽的地名、河名、湖名、山名等的汉字幕墙，体现人性化设计，营造出浓厚的文化氛围．某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼项处测得塔处的仰角为，塔底部处的俯角为．已知建筑物的高约为61米，请计算观景台的高的值． （结果精确到1米；参考数据：）    【详解】解：过点作于点，    则米，， 在中，， ， 解得， 在中，， ， （米）． 观景台的高约为214米． 18．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，某一海域有4个小岛，其中小岛位于同一条直线上，经测量，小岛A位于小岛B北偏东且小岛A位于小岛C北偏东，小岛B和小岛C之间的距离为海里． (1)求小岛A和小岛C之间的距离的长；（结果保留根号） (2)若小岛D位于小岛A东偏南方向，求小岛A与小岛D之间的距离的长．（参考数据：；结果精确到海里） 【详解】（1）解：如图，过点C作于点E． 由题意可知， 是等腰直角三角形， （海里）． 由题意可知， ． 在中，， 则（海里）． 答：小岛A和小岛C之间的距离的长为海里． （2）如图，过点C作于点F． 由题意可知，则， ， （海里）， 在中，， （海里）． 答：小岛A与小岛D之间的距离的长约为海里． 19．（2024·安徽淮北·三模）如图，在中，高，交于点H，，，点G为延长线上一点，连接，的延长线交于点F，连接． (1)求证：； (2)若． ①当，时，求的值； ②当，且时，求的长 【详解】（1）解：，， ， ， ． ， ， ， ． （2）解：①当时，， ．， 设，则． 在中，， ，解得．   ．     ②设．当时， 由（1）可知， ，． 在中，，， 即．解得，（舍去） ，，，， ， ． 过作交处长线于点． ， ，，，， ，， ， ． 又，， ， ， 设，则， 解得，， 在中，根据勾股定理可得： ， ，， ，． ，， ， ． 20．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）综合与实践： 项目任务：校园草坪设计 项目背景：学校举办“迎十一，爱祖国，爱劳动”主题实践活动，九（1）班参加校园草坪设计： 校园内有一块宽为20米，长为30米的矩形草坪，在草坪上设计两条小路．具体要求： ①矩形草坪每条边上必须有一个口宽相等的路口；②两条小路必须设计成平行四边形． 任务1 九（1）班各个实践小组的设计方案汇总后，主要有甲、乙、丙三种不同的方案（如图）： （1）直观猜想：方案中小路的总面积大小关系：______，______；（请填“”或“”） 任务2 （2）验证猜想：请用含x的代数式表示甲方案中小路总面积______； 任务3 （3）如果甲种方案除小路后草坪总面积约为551平方米．请求每条小路的宽度是多少？ 任务4 （4）为了深入研究，各个小组选择丙方案（如图2）进行研究，若两条小路与矩形两组对边所夹锐角．用含x的代数式表示四边形的面积． 【详解】解：（1）∵小路都是平行四边形， ∴甲、乙、丙三种方案中，经过平移之后种植草坪的面积都相当于一个长为米，宽为的长方形面积， 又∵整块地的面积相等， ∴甲、乙、丙三种方案中的小路面积相等， ∴， 故答案为：；； （2）平方米， 故答案为：平方米； （3）由（1）可得， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴每条小路的宽度是1米； （4）如图3，连接、、、，过点F作，交于M， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 在中，， 同理可得， ∴四边形的面积为平方米． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $