2.1.2曲线与方程学案-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1
曲线与方程
学习目标：
1.了解曲线与方程的对应关系；
2.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）
基础知识：
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线
（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程
的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上所有点的坐标都是方程的解；
（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上.
那么，方程叫做曲线的方程；曲线叫做方程的曲线.
技巧攻略：
求曲线方程的一般步骤：
①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).
②写出动点P满足的几何条件.
③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.
④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。
⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。
求曲线方程的一般方法：
(1)直接法：从条件中直接寻找到
的关系，列出方程后化简即可
(2)定义法；定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有：
① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹
直角→圆：若
，则
点在以
为直径的圆上，确定方程的要素：圆心坐标
，半径
② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹
确定方程的要素：距离和
，定点距离
③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹
注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支
确定方程的要素：距离差的绝对值，定点距离
④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹
确定方程的要素：焦准距：
。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程
(3)相关点法（动点转移法）：所求点
与某已知曲线
上一点
存在某种关系，则可根据条件用表示出
，然后代入到
所在曲线方程中，即可得到关于的方程
（4）参数法：从条件中无法直接找到的联系，但可通过一辅助变量
，分别找到与的联系，从而得到和的方程：
，即曲线的参数方程，消去参数后即可得到轨迹方程。
经典例题透析:
类型一：曲线与方程的概念
例1. 已知坐标满足方程的点都在曲线上，那么（ ）.
（A）曲线上点的坐标都满足方程
（B）坐标不满足方程的点都不在曲线C上
（C）不在曲线上的点，其坐标必不满足方程
（D）不在曲线上的点，其坐标有些满足方程，有些不满足方程.
【变式1】下列命题正确的是（ ）
A．到
轴距离为5的点的轨迹方程是
B．方程
表示的曲线是直角坐标平面上第一、三 象限的角平分线
C．方程
表示的曲线是一条直线和一条双曲线
D．曲线
过原点的充要条件是
例2. 已知方程
的曲线经过点O（0，0）和点A（0，－12），求a、b的值.
【变式1】曲线
上有点
，则
= ．
类型二：求曲线的方程
(1)直接法
例3．已知点A与B为平面内两定点，若平面内动点P到点A与B的距离之比
，求动点P的轨迹.
【变式1】设A、B两点的坐标分别是（1，0）、（－1，0），若
，求动点M的轨迹方程.
【变式2】若点M到两条互相垂直的直线的距离相等，求点M的轨迹方程.
(2)定义法
例4：是圆
的圆心为，
是圆内一定点，为圆周上任一点，线段
的垂直平分线与
的连线交于点
，则的轨迹方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【变式1】已知直线
与抛物线
交于
两点，且
，其中
为坐标原点，若
于，则点的轨迹方程为（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
(3)相关点法（动点转移法）
例5动点M在曲线x2＋y2＝1上移动，M和定点B(3,0)连线的中点为P，求P点的轨迹方程．
