2.1.2曲线与方程学案-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选修2-1

曲线与方程 学习目标： 1.了解曲线与方程的对应关系； 2.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等） 基础知识： 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程 的实数解建立了如下的关系： （1）曲线 上所有点的坐标都是方程 的解； （2）以方程 的解为坐标的点都在曲线 上. 那么，方程 叫做曲线 的方程；曲线 叫做方程 的曲线. 技巧攻略： 求曲线方程的一般步骤： ①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y). ②写出动点P满足的几何条件. ③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0. ④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。 ⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。 求曲线方程的一般方法： (1)直接法：从条件中直接寻找到 的关系，列出方程后化简即可 (2)定义法；定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有： ① 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角→圆：若 ，则 点在以 为直径的圆上，确定方程的要素：圆心坐标 ，半径 ② 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和 ，定点距离 ③ 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离），则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值 ，定点距离 ④ 抛物线：平面上到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距： 。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线），则通过准线方程或焦点坐标也可确定方程 (3)相关点法（动点转移法）：所求点 与某已知曲线 上一点 存在某种关系，则可根据条件用 表示出 ，然后代入到 所在曲线方程中，即可得到关于 的方程 （4）参数法：从条件中无法直接找到 的联系，但可通过一辅助变量 ，分别找到 与 的联系，从而得到 和 的方程： ，即曲线的参数方程，消去参数 后即可得到轨迹方程。 经典例题透析: 类型一：曲线与方程的概念 例1. 已知坐标满足方程 的点都在曲线