2.5 函数的单调性及最值-2021-2022学年高一数学同步专项练习（北师大版2019必修第一册）

函数的单调性及最值 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．函数在区间上的最小值是（ ） A． B． C．1 D．-1 【答案】A 【分析】 由题意结合函数的单调性可得函数在上为减函数，即可得解. 【详解】 ∵函数在上为减函数， ∴. 故选：A. 2．函数在（ ） A．上是增函数 B．上是减函数 C．和上是增函数 D．和上是减函数 【答案】C 【分析】 分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】 ， 函数的定义域为， 其图象如下： 由图象可得函数在和上是增函数. 故选：C 3．函数在上是增函数，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 先求二次函数的对称轴，再根据单调性列不等式即可求解. 【详解】 函数的对称轴为，开口向下， 若在上是增函数， 则，可得， 所以的取值范围是， 故选：A. 4．已知函数是上的减函数，若则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由的单调性化简不等式，由此求得实数的取值范围. 【详解】 由于函数是在上的减函数，且，所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：A 5．设，已知函数是定义在上的减函数，且，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据函数定义域及其单调性列不等式，求的范围即可. 【详解】 ∵函数是定义在上的减函数，且， ∴，解得， 故选：C． 6．函数的单调减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 将函数写成分段函数的形式，即再根据解析式得到函数的单调区间； 【详解】 直接通过解析式，结合二次函数图象得：递增，在递减， 故选：A. 7．已知函数对，都有，且，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先分析出的单调性，然后根据单调性将函数值关系转化为自变量间的关系，同时注意定义域，由此可求的取值范围. 【详解】 因为对，都有， 所以在上单调递减， 因为， 所以，解得， 故选：C. 8．已知函数在上是单调函数，且对任意，都有，则的值等于（ ） A．3 B．7 C．9 D．11 【答案】B 【分析】 根据函数在上是单调函数，且，易知为定值，然后设，得到，由求解. 【详解】 因为函数在上是单调函数，且， 所以为定值， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 9．函数的单调减区间为_________________ 【答案】和 【分析】 根据绝对值的意义原函数转化为分段函数，利用二次函数图象与性质求解. 【详解】 因为， 所以当时，二次函数开口向下，对称轴为，函数在上单调递减， 当时，二次函数开口向上，对称轴为，函数在上单调递减. 故答案为：和 10．函数的单调增区间为___________. 【答案】 【分析】 先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】 由得，函数的定义域是 R， 设，则在上是减函数，在 上是增函数， ∵在定义域上减函数，∴函数的单调增区间是 故答案为： 11．已知函数在区间是单调递增函数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】 求出二次函数的对称轴，即可得的单增区间，即可求解. 【详解】 函数的对称轴是，开口向上， 若函数在区间是单调递增函数， 则， 故答案为：． 12．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【分析】 根据已知的范围化简函数的解析式，再结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】 由，可得， 因为函数在区间上是减函数， 根据二次函数的性质，可得，即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．函数在上单调递减，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】 分别讨论和时的两种情况即可. 【详解】 ①时，在R上单调递减 ∴满足条件； ②时， 对称轴为，解得. 由①②得，故的取值范围是. 故答案为： 三、解答题 14．已知函数. （1）求，的值； （2）设，试比较，的大小，并说明理由； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1），；（2），理由见解析；（3） 【分析】 （1）将和代入函数解析式即可求解； （2）根据函数解析式，利用作差法即可比较、的大小. （3）化简不等式，转化为关于二次函数的恒成立问题，分离转化为最值问题即可求得实数的最大值. 【详解】 （1）因为函数，所以，； （2），理由如下： ， 因为，则，， 所以，即，， 所以，即； （3）因为函数， 原不等式可化为， 化简可得，即对于一切恒成立， 所以 当时，二次函数取得最小值，即， 所以