第5章 §1 1.2 利用二分法求方程的近似解(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

[基础巩固·夯基提能] 1．(多选)以下每个图象表示的函数都有零点，其中能用二分法求函数零点的是(　　) 解析　根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间(a，b)一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A、B、D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点． 答案　ABD 2．用二分法找函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0,4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　) A．(0,1)　　　　　　　 B．(0,2) C．(2,3) D．(2,4) 解析　因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0， f(4)＝24＋12－7>0， 又已知f(2)＝22＋6－7>0， 所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0,2)． 答案　B 3．用二分法可以求得方程x3＋5＝0的近似解(精确度为0.1)为(　　) A．－1.5 B．－1.8 C．－1.6 D．－1.7 解析　令f(x)＝x3＋5， 易知f(－2)＝－3＜0，f(－1)＝4＞0， 所以可取[－2，－1]为初始区间，用二分法逐次计算即得方程的近似解为－1.7. 答案　D 4．某同学在借助题设给出的数据求方程lg x＝2－x的近似数(精确度0.1)时，设f(x)＝lg x＋x－2，得出f(1)<0，且f(2)>0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正、负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为________． 解析　先判断零点所在的区间为(1,2)，故用“二分法”取的第一个值为1.5，由于方程的近似解为x≈1.8，故零点所在的区间进一步确定为(1.5,2)，故取的第二个值为(1.5＋2)÷2＝1.75. 答案　1.75 5．下列是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值． x 1 1.25 1.375 1.406 5 1.438 f(x) －2 －0.984 －0.260 －0.052 0.165 x 1.5 1.625 1.75 1.875 2 f(x) 0.625 1.982 2.645 4.35 6 由此可判断：方程f(x)＝0的一个近似解为______(精确度0.1)． 解析　∵f(1.438)·f(1.406 5)<0， 且|1.438－1.406 5|＝0.031 5<0.1， ∴f(x)＝0的一个近似解为1.4. 答案　1.4 6．已知函数f(x)＝ax3＋2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点． (1)求实数a的取值范围； (2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1，1)上的根． 解析　(1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符， ∴a≠0. 若a≠0，则由题意可知， f(x)在(－1,1)上是单调函数， 故f(－1)·f(1)＝－4(6a－4)<0， 解得a>，故a的取值范围为. (2)若a＝， 则f(x)＝x3＋x－， ∴f(－1)＝－4<0，f(0)＝－<0，f(1)＝＞0， ∴函数f(x)的零点在区间(0,1)上， 又f＝0， ∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为. [关键能力·综合提升] 7．若函数f(x)的零点与g(x)＝4x＋2x－2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f(x)可以是(　　) A．f(x)＝4x－1 B．f(x)＝(x－1)2 C．f(x)＝ex－1 D．f(x)＝ln 解析　g(x)＝4x＋2x－2的零点，即函数y＝4x与函数y＝－2x＋2图象交点的横坐标，如图所示， 由图知g(x)的零点0<x0<， 又f(x)＝4x－1的零点为，∴选A. 答案　A 8．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为(　　) A．0.6　　 B．0.75 C．0.7　　 D．0.8 解析　已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64,0.72]． 又0.68＝，且f(0.68)＜0， 所以零点在区间[0.68,0.72]上， 因为|0.68－0.72|＝0.04＜0.1， 因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C. 答案　C 9．用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0,1)内零点的近似值，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为________． 解析　开区间(0,1)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为.因为用二分法求函数f(x)＝ln(x＋1)＋x－1在区间(0,1)内零点的近似值，要求精确度为0.01，所以≤0.01，解得n≥7，故所需二分区间的次数最少为7. 答案　7 10．已知函数f(x)＝2x2－8x＋m＋3为R上的连续函数． (1)若函数f(x)在区间[－1,1]内存在零点，求实数m的取值范围； (2)若m＝－4，判断f(x)在(－1,1)内是否存在零点？若存在，请在精确度为0.2的条件下，用二分法求出这个零点所在的区间；若不存在，请说明理由． 解析　(1)函数f(x)在区间[－1,1]上单调递减， 因为f(x)在区间[－1,1]内存在零点，所以 即所以－13≤m≤3. 所以实数m的取值范围是[－13,3]． (2)当m＝－4时，f(x)＝2x2－8x－1， 则f(－1)＝9，f(1)＝－7. 因为f(－1)·f(1)<0，f(x)在区间(－1,1)上单调递减，所以函数f(x)在(－1,1)内存在唯一零点x0. 因为f(0)＝－1<0， 所以f(－1)·f(0)<0， 所以x0∈(－1,0)． 因为f＝>0， 所以f·f(0)<0， 所以x0∈. 因为f＝>0， 所以f·f(0)<0， 所以x0∈. 因为f＝>0， 所以f·f(0)<0， 所以x0∈. 因为＝<＝0.2， 所以所求区间为. [核心价值·探索创新] 11．在一个风雨交加的夜晚，某水库闸门防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10 km，大约有200根电线杆的线，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出事故地点所在区域(精确到100 m范围内)? 解析　如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；…，由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为 m，则有≤100，即2n≥100，又26＝64,27＝128，故至多检测7次就能找到故障地点所在区域． 学科网（北京）股份有限公司 $$