精品解析：上海市奉贤区致远高中2020-2021学年高二下学期期中数学试题

致远高中2020学年第二学期期中教学评估 高二数学 考试时间：120分钟满分150分 一、填空题（本大感共12题，分64分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知抛物线：上，则抛物的准线方程为______. 2. 已知复数：满足：（是虚数单位），则______． 3. 求直线与直线的夹角为________. 4. 若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的全面积是______． 5. 双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则________ 6. 若圆锥的侧面展开图是半径为2、圆心角为180°的扇形，则这个圆锥的体积是____． 7. 如图,在正三棱柱中,,异面直线与所成角的大小为,该三棱柱的体积为_______________． 8. 设复数，，在复平面上所对应点在直线上，则 =__________． 9. 如图是一个正方体表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为______________． 10. 已知地球的半径约为6371千米．上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经 、北纬39°．则大连与里斯本之间的球面距离为______（结果精确到千米）． 11. 某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 12. 已知抛物线的焦点和椭圆的右焦点重合，直线过抛物线的焦点F与抛物线交于P、Q两点和椭圆交于A、B两点，M为抛物线准线上一动点，满足，，则直线AB的方程为________. 二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 14. 如图，有一个水平放置透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为 A. B. C. D. 15. 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为 A B. C. D. 16. 已知曲线：．下列叙述中正确的是（ ） A. 垂直于轴的直线与曲线存在两个交点 B. 直线与曲线最多有三个交点 C 曲线关于直线对称 D. 若，为曲线上任意两点，则有 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知直线与双曲线：交于不同的两点，且线段的中点在上，求的值． 18. 已设是方程的一个根，且在复平面内对应的点在第一象限． （1）求； （2）设（其中为虚数单位，），若的共轭复数满足，求． 19. 如图所示，在长方体中，，，，为棱上一点． （1）若，求异面直线和所成角的正切值； （2）若．试证明：平面． 20. 四棱锥P﹣ABCD，底面为正方形ABCD，边长为4，E为AB中点，PE⊥平面ABCD. （1）若△PAB为等边三角形，求四棱锥P﹣ABCD的体积； （2）若CD的中点为F，PF与平面ABCD所成角为45°，求PC与AD所成角的大小. 21. 过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，， （1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程； （2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点； （3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 致远高中2020学年第二学期期中教学评估 高二数学 考试时间：120分钟满分150分 一、填空题（本大感共12题，分64分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 已知抛物线：上，则抛物的准线方程为______. 【答案】． 【解析】 【分析】 由抛物线方程，求出，可求准线方程. 【详解】抛物线：，所以， 准线方程为， 故答案为：. 2. 已知复数：满足：（是虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的计算公式，可直接得出结果. 【详解】因为，则. 故答案为： 3. 求直线与直线的夹角为________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线斜率，可得它们的倾斜角，从而求出两条直线的夹角． 【详解】解：直线的斜率不存在，倾斜角为， 直线的斜率为，倾斜角为， 故直线与直线的夹角为， 故答案为：． 4. 若圆柱的底面半径为，高为，则圆柱的全面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意使用圆柱的底面积、侧面积公式，分别算出该圆柱的底面积和侧面积，从而得出该圆柱的全面积.