必考点01 直线的斜率与倾斜角-【对点变式题】2021-2022学年高二数学期中期末必考题精准练（苏教版2019选择性必修第一册）

必考点01 直线的斜率与倾斜角 题型一 直线的倾斜角 例题1若经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y等于(　　) A．－1 B．－3 C．0 D．2 【答案】B 【解析】由题意可知＝tan ＝－1，解得y＝－3.故选B. 例题2设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线，则直线1的倾斜角为 【答案】当0°≤＜135°时，为+45°，当135°≤＜180°时，为－135° 【解析】倾斜角的范围是[0°，180°），因此，只有当+45°∈[0°，180°），即当0°≤＜135°时，的倾斜角才是+45°，而当135°≤＜180°时，的倾斜角为－135°．故应选D． 【解题技巧提炼】 直线的倾斜角 (1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (2)范围：直线l倾斜角的取值范围是[0，π)． 题型二 直线的斜率 例题1如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率． 【解析】由图形可知，，则k1，k2可求． 直线的斜率． ∵直线的倾斜角=90°+30°=120°， ∴直线的斜率k2=tan120°=tan(180°―60°)=―tan60°=． 例题2 直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为__________． 【答案】(－∞，－]∪[1，＋∞)　 【解析】如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－]∪[1，＋∞)． 【点评】(1)解决直线的倾斜角与斜率问题，常采用数形结合思想．注意区分含有90°和不含90°两种情况的讨论． (2)根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论． 【解题技巧提炼】 直线的斜率 (1)定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是的直线没有斜率． (2)过两点的直线的斜率公式 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 斜率取值范围的两种求法 数形 结合法 作出直线在平面直角坐标系中可能的位置，借助图形，结合正切函数的单调性确定 函数 图象法 根据正切函数图象，由倾斜角范围求斜率范围，反之亦可 题型三 三点共线 例题1若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，求a的值． 【解析】∵A、B、C三点共线，∴直线AC、BC的斜率相等， ∴，解之得，a=±2． 【解题技巧提炼】 1.应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不相等，再代入斜率公式求解． 2.用斜率公式可解决三点共线问题 题型一 直线的倾斜角 1.已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 【答案】60°或120° 【解析】有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°. 2. 若直线l的斜率k∈[－1,1]，则直线l的倾斜角θ的范围是________． 【答案】∪　 【解析】[当－1≤k＜0时，≤θ＜π，当0≤k≤1时，0≤θ≤. 因此θ的取值范围是∪. 题型二 直线的斜率 1.若经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角为45°，则m＝________. 【答案】1.2 【解析】tan 45°＝，得m＝2. 2.经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________(其中m≥1)． 【答案】2.0°<α≤90° 【解析】当m＝1时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.当m>1时，直线的斜率为k＝＝＝，因为m>1，所以k>0，故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.综上可知，直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°. 题型三 三点共线 1.已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上． 【解析】由题意可知直线AB的斜率，直线BC的斜率． 因为kAB=kBC，即两条直线的斜率相同，并且它们过同一点B，所以A，B，C三点在同一直线上． 2.若，，三点共线，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，故， 因为三点共线，故，故， 故选：A. 1．若直线经过，两点，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，直线经过，， 则直线的斜率， 又由，则，则有， 又由，则；故选：