2.3 第2课时 函数的最大(小)值-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【金版新学案】配套教师用书（北师大版）

第2课时　函数的最大(小)值 知识点　函数的最大值与最小值 最大值 最小值 条件 一般地，若存在实数M，对所有的x∈D，都有 f(x)≤M f(x)≥M ∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 称M为函数y＝f(x)的最大值 称M为函数y＝f(x)的最小值 几何意义 f(x)图象上最高点的纵坐标 f(x)图象上最低点的纵坐标 [点拨]　函数最大值和最小值定义中的两个关键词 (1)∃(存在) M首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数y＝x2(x∈R)的最小值是0，有f(0)＝0. (2)∀(任意) 最大(小)值定义中的∀(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立，也就是说，函数y＝f(x)的图象不能位于直线y＝M的上(下)方． 1．下列对函数f(x)＝2x－1(x<0)的说法中，正确的是________．(填序号) ①有最大值；②有最小值；③既有最大值又有最小值；④既无最大值又无最小值． 答案：　④ 2．函数y＝f(x)在[－2，2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是________，________． 答案：　－1　2 3．函数f(x)＝，x∈[2，4]，则f(x)的最大值为________，最小值为________． 答案：　1　 4．函数y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 解析：　函数y＝2x2＋2在(0，＋∞)上是增函数，又因为x∈N*，所以当x＝1时，y最小值＝2×12＋2＝4. 答案：　4 探究点一　利用函数的图象求最值 已知函数y＝－|x－1|＋2，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域． 解析：　y＝－|x－1|＋2＝函数图象如图所示． 由图象知，函数y＝－|x－1|＋2的最大值为2，没有最小值．所以其值域为(－∞，2]. 用图象法求最值的3个步骤 　　 [对点训练] 1．函数f(x)在区间[－2，5]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　　) A．－2，f(2) B．2，f(2) C．－2，f(5) D．2，f(5) C　[由函数的图象知，当x＝－2时，有最小值－2；当x＝5时，有最大值f(5).] 2．已知函数f(x)＝ (1)画出f(x)的图象； (2)利用图象写出该函数的最大值和最小值． 解析：　(1)函数f(x)的图象如图所示． (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1，无最大值． 探究点二　利用函数的单调性求最值 已知函数f(x)＝x＋. (1)判断f(x)在区间[1，2]上的单调性； (2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1，2]上的最值． 解析：　(1)任取x1，x2∈[1，2]，且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－ ＝(x1－x2).＝ ∵x1<x2，∴x1－x2<0.当1≤x1<x2≤2时，x1x2>0，1<x1x2<4，即x1x2－4<0. ∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在区间[1，2]上单调递减． (2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)＝2＋＝4；f(x)的最大值为f(1)，f(1)＝1＋4＝5，∴f(x)的最小值为4，最大值为5. [母题探究] (变结论)本例已知条件不变，判断f(x)在区间[1，3]上的单调性，并求f(x)在区间[1，3]上的最值． 解析：　任取x1，x2∈[1，3]，且x1<x2，由本例知，f(x1)－f(x2)＝.当1≤x1<x2≤2时，f(x1)>f(x2)，f(x)在区间[1，2]上单调递减； 当2<x1<x2≤3时，x1x2>0，4<x1x2<9，即x1x2－4>0， ∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在区间(2，3]上单调递增． ∴f(x)的最小值为f(2)＝2＋＝4. ∵f(3)＝3＋<f(1)＝5，∴f(x)的最大值为5.＝ 函数的最值与单调性的关系 (1)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(或单调递减)，则f(x)在区间[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b). (2)若函数f(x)在区间[a，b]上单调递增(或单调递减)，在区间(b，c]上单调递减(或单调递增)，则f(x)在区间[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个． (3)若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的线，则函数f(x)在区间[a，b]上一定有最值． (4)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．　　 [对点训练] 已知函数f(x)＝，x∈[3，5]. (1)判断函数f(x)的单调性并证明； (2)求函数f(x)的最大值和最